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2018年8月9日星期四
这是一道记载于我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中的趣题。题目曰：“今有垣厚五尺，两鼠对穿。大鼠日一尺，小鼠也日一尺。大鼠日自倍，小鼠日自半。问何日相逢，各穿几何？”
《九章算术》
译成今文是：今有一堵墙厚5尺，两只老鼠从墙的两端相对打洞穿墙。大老鼠第一天进1尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半。问几天后两鼠相遇，各穿墙几尺？
这道题目小学阶段可解，但要求其通解，则大约要到高中阶段。今日拿来说道说道。
下面给出小学阶段的解法：
①第一天，穿墙：1＋1＝2（尺），剩余：5－2＝3（尺）
②第二天，穿墙：1×2＋1÷2＝2.5（尺），剩余：3－2.5＝0.5（尺）
③第三天的相遇时间：0.5÷（1×2×2＋1÷2÷2）
＝0.5÷（4＋0.25）
＝0.5÷4.25
＝2/17（天）
2/17天≈2时49分25秒
④穿墙距离，大老鼠：1＋2＋4×（2/17）＝59/17（尺）≈3.47（尺）
小老鼠：1＋1/2＋1/4×（2/17）＝26/17（尺）≈1.53（尺）
答：大约2天2时49分25秒后两鼠相遇，相遇时大老鼠穿墙约3.47尺，小老鼠穿墙约1.53尺。
解题的核心思路来源于“相遇问题”：
相遇时间＝路程和÷速度和
难点是：速度并不是固定不变的。而是，越战越勇的大老鼠：“日自倍”，每天的穿墙速度是前一天的2倍；越发萎靡不振的小老鼠：“日自半”，每天的穿墙速度是前一天的1/2。好在啊，单独的一天中，速度是相对固定不变的。或者说，最后一天总是可以套用“相遇问题”的解题模型的。您一定会懂得，您也一定会不以为然的……
……
……
……
……
……
……
如果，将墙厚改为：100尺、500尺、1000尺……还要依样葫芦地去解吗？
或许一种不失为好的方法就是“猛烈地喷一下”：5尺之墙已令孤陋闻所未闻、匪夷所思，何堪如此倍增之！
故而下面的讨论小朋友们可以无视了，一些内容涉及到了高中“求等比数列前n项和的公式”，虽然我仍以小学数学的视角展开，但并不能于小学阶段自圆其说……本文，继续地期待小朋友们的成长！
将大老鼠每日穿墙的速度罗列出来，就得到我们熟悉的数列：
如果您没有忘记数学活动“打电话”的结论的话，就知道：这个以2倍递增（即等比数列的公比是2）的数列的前n项的和是：
1＋2＋4＋8＋16＋32＋64＋……＝2^n－1
（2^n表示2的n次方。n表示项数，其中：1为第1项，2为第2项，4为第3项，8为第4项……余类推。这个前n项的求和公式可以轻松求出任意指定n项的和。需要注意的是：指数为项数减一，即：n－1）
打电话“倍增传递”方式示意图
同样，将小老鼠每日穿墙的速度罗列出来，可以得到以下数列：
这个数列是递减的一个数列，因为公比是：1/2＜1。相关内容在六年级数学上册《数学广角——数与形》中有所学习：
人教版六年级数学上册108页
用算式展开是：
1＋1/2＋1/4＋1/8＋1/16＋……
＝（2－1）＋（1－1/2）＋（1/2－1/4）＋（1/4－1/8）＋（1/8－1/16）＋……
＝2－1＋1－1/2＋1/2－1/4＋1/4－1/8＋1/8－1/16＋……
＝2－2^（1－n）
（1/2表示分数二分之一，其余同。由于分数个子太高了，这是将其折叠的写法：分子/分母。就好比当您不喜欢高个子的朋友站在您身边突显您的“精干”时，您可以招呼您的朋友坐下来，呵呵）
您完全不必理会最后得出的公式，您只需知道：小老鼠穿墙的极限距离是2尺。这个算式相比六年级数学教材上的内容，多了一个1，所以无限情况下的结果是2。天啦！穿墙主要要靠大老鼠啊，小老鼠第一天的表现完全是“骗”了大老鼠啊，嘻嘻。
有了这两个求和公式（大老鼠：2^n－1；小老鼠：2－2^（1－n）），我们就可以解决任意厚度的墙的问题了……
以墙厚1000尺为例：
首先需求出使得：
的最小整数解n，也就是穿墙的整数天数。
这个怎么计算？严格来说要算“以2为底999的对数”，小朋友们就别管这是个啥玩意了，只需对着上面的数列查一查就知道了，由于：
可知，这个最小整数解n=9天。
此刻，它们分别穿了：
大老鼠：2^9－1＝512－1＝511（尺）
小老鼠：2－2^（1－9）＝2－1/256＝511/256（尺）
剩余：1000－511－511/256＝487 1/256（尺）＝124673/256（尺）
然后算出第10天的穿墙速度分别为：
大老鼠：2^9＝512（尺）
大老鼠：2^（－9）＝1/512（尺）
接着套用“相遇问题”的求解模型（相遇时间＝路程和÷速度和）得：
124673/256÷（512＋1/512）
＝124673/256×（512/262145）
＝249346/262145
≈0.951176（天）
第10天穿墙的相遇时间约折合：22时49分42秒
最后，它们一共穿了：
大老鼠：511＋512×（249346/262145）≈998.002048（尺）
小老鼠：511/256＋1/512×（249346/262145）≈1.997952（尺）
即：
大约9天22时49分42秒后两鼠相遇，相遇时大老鼠穿墙约998.002048尺，小老鼠穿墙约1.997952尺。
也许到了这一步，您才会真正地发现此题的“无聊”：何不以小老鼠洞墙之极限距离2尺大约地替代，何劳如此费心！
两个数列，一个以2倍扩大，无限增大，和值发散于无穷；一个以2倍缩小，无限减小，和值收敛于2。这或许才是这道古代数学趣题要阐释的核心数学道理。至于“相遇问题”的模型，则让此题有了一些“亲切”的面容，小学生也可以参与其中了。好的题目，就应当不是为了卖弄的，而是让不同的人都有参与的可能，并获得不同的收获的！
就让我们在感喟古人的智慧和古人带给我们的乐趣的余味中说声：再会。
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