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中考数学专题系列八：中点四边形方法谈
作者 卜凡
把“顺次连接四边形各边中点所得到的四边形”统一称为“中点四边形”。比如“把矩形的各边中点顺次连接所得到的四边形”称其为“矩形的中点四边形”，以此类推。初中涉及到的“中点四边形”主要有以下十种情况：
（1）任意四边形的中点四边形
（2）平行四边形的中点四边形
（3）矩形的中点四边形
（4）菱形的中点四边形
（5）正方形的中点四边形
（6）梯形的中点四边形
（7）等腰梯形的中点四边形
（8）对角线相等的四边形的中点四边形
（9）对角线互相垂直的四边形的中点四边形
（10）对角线互相垂直且相等的四边形的中点四边形
像这类题通常出现在选择题中或者作为综合题的一个小知识点出现。如果对“中点四边形”理解不透，在做选择的时候犹豫不定，拿不准哪个选项是正确的，出现蒙的现象；在做综合题的时候，解题思路受阻，影响能力的提高。
有的同学也认识到了“中点四边形”的重要性，但是掌握起来时，觉得都很相似，容易混淆。其实找准了方法，就会一通百通，容易得很。真正是天空飘来五个字“那都不是事”。这么神奇的方法是什么呢？那就是看“原来四边形的对角线的关系”。现以矩形为例进行说明。
例题: 已知矩形ABCD,点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，试判断四边形EFGH的形状。
分析：因为四边形ABCD是矩形，而矩形的对角线相等，所以连接AC、BD，得AC=BD，且EF、FG、GH、HE分别是△ABC、△BCD、△CDA、△ABD的中位线。
根据三角形的中位线的性质，得（1）EF=GH=AC，EF∥AC∥GH; （2）EH=FG=BD，EH∥BD∥FG.
由EF=GH， EF∥GH或EH=FG，EH∥FG都能得到四边形EFGH是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
由EF=GH，EH=FG也能得到四边形EFGH是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
由EF∥GH，EH∥FG也能得到四边形EFGH是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）
不论哪种方法，四边形EFGH已经是平行四边形了，又因为AC=BD，所以EF=GH=EH=FG，这样四边形EFGH就是菱形了。
同学们不妨利用上述方法判断一下其它形状的四边形的中点四边形的形状，通过研究就会得出以下结论。
总结：所有四边形的中点四边形一定是平行四边形，在此基础上，
（1）若原四边形的对角线相等，则中点四边形就是菱形
（2）若原四边形的对角线垂直，则中点四边形就是矩形
（3）若原四边形的对角线既相等又垂直，则中点四边形就是正方形
（4）若原四边形的对角线既不相等又不垂直，则中点四边形就只能是平行四边形了
总之，一个四边形的中点四边形究竟是什么形状的四边形，只与原四边形的对角线有关，所以只要根据已知条件得出原四边形的对角线的关系，也就判断出了中点四边形的形状。说到这儿，你是不是一通百通了
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