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来看这个题,旋转三角形中伴随最值问题。
如图,Rt△BAC和Rt△DAE中,AB=AC=10,AD=AE=4,连接DC,点M、P、N分别是DE,DC,BC的中点。△DAE绕点A旋转,求△PMN面积的最大值。
(视频讲解在文末)
分析:△BAC和△DAE都是等腰直角三角形,又有三个中点M、P、N,直接能够联想到中位线的性质,据此我们就可以先判断出红色三角形PMN的形状。
假设蓝色三角形DAE旋转任意一个角度,我们作两条辅助线,连接BD、EC
根据三角形中位线的性质可以得出:
MP平行且等于1/2EC
NP平行且等于1/2BD
因为AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,因此△BAD≌△CAE,BD=EC。
所以,MP=NP
又因为△BAD旋转90°与△CAE重合,AB⊥AC,AD⊥AE。
所以BD⊥EC,MP⊥NP
到这里,我们就可以得出三角形PMN是等腰直角三角形。
三角形PMN的面积=MN÷4
只需要求出线段MN的最大值,即可得到三角形PMN面积的最大值。
什么时候MN最大呢?
当ED∥BC,∠BAD=180°时,MN取得最大值。
此时,MN=MA+AN=7√2
三角形PMN的面积最大值=(7√2)÷4=24.5
本题视频讲解:初中数学:旋转三角形,求△PMN面积的最大值
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