趣味数学故事：图形问题

七桥问题 哥城景致迷人碧波荡漾的普累格河横贯其境。在河的中心有一座美 丽的小岛。普河的两条支流环绕其旁汇成大河把全城分为下图所示的四 个区域岛区 A 东区B 南区C和北区D 。有七座桥横跨普 累格河及其支流其中五座把河岸和河心岛连接起来这一别致的桥群古 往今来吸引了众多的游人来此散步 早在 18 世纪以前当地的居民便热衷于以下有趣的问题能不能设计一 次散步使得七座桥中的每一座都走过一次而且只走过一次这便是著名 的哥尼斯堡七桥问题。 读者如果有兴趣完全可以照样子画一张地图亲自尝试。不过要告 诉大家的是想把所有的可能线路都试过一遍是极为困难的因为各种可能 的线路不下于五千种要想一一试过谈何容易 问题的魔力竟然吸引了天才的欧拉Euler17071783 公元 1736 年29 岁的欧拉向圣彼得堡科学院递交了一份题为《哥尼斯 堡的七座桥》的论文论文的开头是这样写的 讨论长短大小的几何学分 支一直被人们热心地研究着但是还有一个至今几乎完全没有探索过的分 支莱布尼兹最先提起过它称之 位置的几何学 。这个几何学分支讨论 只与位置有关的关系研究位置的性质它不去考虑长短大小也不牵涉到 量的计算但是至今未有过令人满意的定义来刻划这门位置几何学的课题 和方法 接着欧拉运用他那娴熟的变换技巧如同下图把哥尼斯堡七桥问题 变为读者所熟悉的简单的几何图形的 一笔画 问题即能否笔不离纸 一笔画但又不重复地画完以下的图形 读者不难发现右图中的点 A、B、C、D相当于七桥问题中的四块区域 而图中的弧线则相当于连接各区域的桥。 聪明的欧拉正是在上述基础上经过潜心研究确立了著名的 一笔 画原理 从而成功地解决了哥尼斯堡七桥问题。不过要弄清欧拉的特有 思路我们还得从 网 B 络 的连通性讲起。 所谓网络是指某些由点和线组成的图形网络中的线弧都有两个端点 而且互不相交。如果一个网络中的任意两点都可以找到网络中的某条弧线 把它们连接起来那么这样的网络就称为连通的。连通的网络简称脉络。 显然上面的三个图中图Ⅰ不是网络因为它仅有的一条弧线只有一 个端点图Ⅱ也不是网络因为它中间的两条弧线相交而交点却非顶点 图Ⅲ虽是网络但却不是连通的。而七桥问题的图形则不仅是网络而且 是脉络 ...

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