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初一《三角形》题型全解读：三角形内角和定理及外角定理

时间：2018-07-17

知识梳理1 三角形内角和定理①三角形的三个内角的和等于1800

提示：本文共有 2145 个字，阅读大概需要 5 分钟。

欢迎来到百家号“米粉老师说数学”，我们知道，不是任意长度的三条线段，首尾相接就能组成一个三角形，三角形中的三条边的长度是有一点限制要求的，今天就来说一说，三角形三边在长度要求上的关系，及对应题型解题思路分析的解读。

【知识梳理】

1.三角形内角和定理

①三角形的三个内角的和等于1800。

②证明过程---解题思路：把三角形三个内角，通过平行线性质，转化成一个平角。

如图，过△ABC的顶点A作DE//BC，∵DE//BC，∴∠B=∠DAB，∠C=∠EAC，∵∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°，

∴∠B+∠BAC+∠C=180°，即三角形的三个内角和是180°.

③拓展：n边形内角和公式（n-2）×1800

2.三角形的外角

①三角形外角的特征：顶点在三角形的一个顶点上；一条边是三角形的一边；另一条边是三角形另一边的延长线；

如图2，∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6均是△ABC的外角；由于这6个角中存在三组对顶角，所以一般说一个三角形的外角，是指它的三个外角。

②三角形的外角和定理：三角形的三个外角和等于360

如图2，∠1+∠3+∠5=∠2+∠4+∠6=360°；

③三角形的外角性质：三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，注意：“不相邻”；

如图2，∠1=∠2=∠ACB+∠ABC、∠3=∠4=∠BAC+∠ACB、∠5=∠6=∠BAC+∠ABC.

④三角形的外角大于和它不相邻的任意一个内角，注意：“不相邻”；

【范例精讲】

例1. 已知AB//CD，求证：∠B=∠E+∠D

【解析】：这是平行线中三大典型模型的“牛角模型”，未知外角性质定理时，我们的证明过程如下：

当我们学习了外角性质定理时，证明过程就要简洁一些了。

证：∵AB//CD（已知），

∴∠B=∠1（两直线平行，同位角相等），

∵∠1=∠D+∠E（三角形外角性质），

∴∠B=∠D+∠E（等量代换）.

例2.当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”，如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，则这个“特征三角形”的最小内角的度数为____.

【解析】：定义新运算题型，考查数学阅读理解能力，运用三角形的内角和定理即可解答。

【解题过程】由题意可得：当“特征角”α=100°时，则β=50°，

依三角形内角和定理，可得出这个“特征三角形”的最小内角的度数为

180°-100°-50°=30°.

例3.在非直角三角形ABC中，∠A=45°，高BD和CE所在的直线相交于点H，求∠BHC的度数.

【解析】在初中几何题中，遇到这两种情形，则必须首先考虑分类讨论：①没图的几何题；②遇到题目涉及到高时；如此题，由于无图，△ABC可以是锐角三角形，也可以是钝角三角形，则它们的高可以是界内高，也可以是界外高，则∠BHC可以在△ABC的内部，也可能在外部，所以首先考虑分类讨论，解题过程大致为：先画图，再依三角形内角和定理和三角形外角性质求解。

【解题过程】

①当△ABC为锐角三角形时，如图1，在△ABD中，

∵∠A=45°，∠ADB=90°，

∴∠ABD=180°-45°-90°=45°，

∴∠BHC=∠ABD+∠BEH

=45°+90°=135°；

②当△ABC为锐角三角形时，如图2，在△AEC中，

∵∠A=45°，∠AEC=90°，

∴∠ACE=180°-45°-90°=45°，

∴∠DCH=∠ACE=45°，

∴∠BHC=180°-∠ADH-∠DCH

=180°-45°-90°=45°；