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在进行几何题的证明或计算时，需要在图形中添加一些辅助线，只要构造合适的全等三角形，使题目中的条件相对集中起来，能比较容易找到一些量之间的关系，再进行等量代换，就可以化难为易了．基本的辅助线的作法有：翻折法，补形法，倍长中线法，截长（补短）法，作垂线（平行线）法等，目的都是构造全等三角形．
1．在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，交AC于点E，AD⊥BE，垂足为D，求证：∠BAD＝∠C+∠DAC．
【解答】解：∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE＝∠CBE，
由三角形的外角性质得，∠AED＝∠CBE+∠C，
∵AD⊥BE，
∴∠ABE+∠BAD＝90°，
∠DAC+∠AED＝∠DAC+∠CBE+∠C＝90°，
∴∠BAD＝∠C+∠DAC．
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠ABC＝45°，点D为BC的中点，CE⊥AD于点E，其延长线交AB于点F，连接DF．求证：∠ADC＝∠BDF．
【解答】证明：作BG⊥CB，交CF的延长线于点G，如图所示：
∵∠CBG＝90°，CF⊥AD，
∴∠CAD+∠ADC＝∠BCG+∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝∠BCG，
在△ACD和△CBG中，
，
∴△ACD≌△CBG（ASA），
∴CD＝BG，∠CDA＝∠CGB，
∵CD＝BD，
∴BG＝BD，
∵∠ABC＝45°，
∴∠FBD＝∠GBF＝∠CBG，
在△BFG和△BFD中，
，
∴△BFG≌△BFD（SAS），
∴∠FGB＝∠FDB，
∴∠ADC＝∠BDF．
3．正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF＝EF，求∠EAF的度数．
【解答】解：延长EB使得BG＝DF，连接AG，
在△ABG和△ADF中，
由，
可得△ABG≌△ADF（SAS），
∴∠DAF＝∠BAG，AF＝AG，
又∵EF＝DF+BE＝EB+BG＝EG，AE＝AE，
在△AEG和△AEF中，
∴△AEG≌△AEF（SSS），
∴∠EAG＝∠EAF，
∵∠DAF+∠EAF+∠BAE＝90°
∴∠EAG+∠EAF＝90°，
∴∠EAF＝45°．
答：∠EAF的角度为45°．
4．如图，△ABC中，D为BC的中点．
（1）求证：AB+AC＞2AD；
（2）若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围．
【解答】（1）证明：由BD＝CD，再延长AD至E，使DE＝AD，
∵D为BC的中点，
∴DB＝CD，
在△ADC和△EDB中，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴BE＝AC，
在△ABE中，∵AB+BE＞AE，
∴AB+AC＞2AD；
（2）∵AB＝5，AC＝3，
∴5﹣3＜2AD＜5+3，
∴1＜AD＜4．
5．如图：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°．探究图中线段BE，FE，FD之间的数量关系，并说明理由．
解：（1）EF＝BE+DF，理由如下：
如图①中，延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG．
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF；
故答案为 EF＝BE+DF．
6．如图，∠AOB＝90°，OM平分∠AOB，将直角三角板的顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA、OB相交于点C、D，问PC与PD相等吗？试说明理由．
【解答】解：PC与PD相等．理由如下：
过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F．
∵OM平分∠AOB，点P在OM上，PE⊥OA，PF⊥OB，
∴PE＝PF（角平分线上的点到角两边的距离相等）
又∵∠AOB＝90°，∠PEO＝∠PFO＝90°，
∴四边形OEPF为矩形，
∴∠EPF＝90°，
∴∠EPC+∠CPF＝90°，
又∵∠CPD＝90°，
∴∠CPF+∠FPD＝90°，
∴∠EPC＝∠FPD＝90°﹣∠CPF．
在△PCE与△PDF中，
∵，
∴△PCE≌△PDF（ASA），
∴PC＝PD．
7．△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求证：AB+BP＝BQ+AQ．（有多种辅助线作法）
【解答】方法一、证明：延长AB到D，使BD＝BP，连接PD，
则∠D＝∠5．
∵AP，BQ分别是∠BAC，∠ABC的平分线，∠BAC＝60°，∠ACB＝40°，
∴∠1＝∠2＝30°，∠ABC＝180°﹣60°﹣40°＝80°，∠3＝∠4＝40°＝∠C，
∴QB＝QC，
又∠D+∠5＝∠3+∠4＝80°，
∴∠D＝40°．
在△APD与△APC中，
∴△APD≌△APC（AAS），
∴AD＝AC．
即AB+BD＝AQ+QC，
∴AB+BP＝BQ+AQ．
方法二、如图，
∴∠CBQ＝∠ABC＝×80°＝40°，
∴∠CBQ＝∠ACB，
∴BQ＝CQ，
∴BQ+AQ＝CQ+AQ＝AC…①，
过点P作PD∥BQ交CQ于点D，
则∠CPD＝∠CBQ＝40°，
∴∠CPD＝∠ACB＝40°，
∴PD＝CD，∠ADP＝∠CPD+∠ACB＝40°+40°＝80°，
∵∠ABC＝80°，
∴∠ABC＝∠ADP，
∵AP平分∠BAC，
∴∠BAP＝∠CAP，
∵在△ABP与△ADP中，
，
∴△ABP≌△ADP（AAS），
∴AB＝AD，BP＝PD，
∴AB+BP＝AD+PD＝AD+CD＝AC…②，
由①②可得，BQ+AQ＝AB+BP．
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