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已知，如图，AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，动点P，Q分别在线段OC，CD上，且DQ=OP，AP的延长线与射线OQ相交于点E，与弦CD相交于点F（点F与点C，D不重合），AB=20，cos∠AOC=4/5，设OP=x，△CPF的面积为y．
1. 求证：AP=OQ；
2. 求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；
3. 当△OPE是直角三角形时，求线段OP的长。
分析：
1. 连接OD，证得△AOP≌△ODQ后即可证得AP=OQ；
2. 作PH⊥OA，根据cos∠AOC=4/5，得到OH=4/5 PO=4/5 x，从而得到S△AOP=1/2 AOPH=3x，利用△PFC∽△PAO得当对应边的比相等即可得到函数解析式；
3. 分当∠POE=90°时、当∠OPE=90°时、当∠OEP=90°时三种情况讨论即可得到正确的结论。
解：1. 连接OD，如图所示：
∵ OD＝OC，
∴ ∠C＝∠ODC.
∵ CD∥AB，
∴ ∠C＝∠AOC.
∴ ∠ODC＝∠AOC.
在△AOP和△ODQ中，
∵ AO＝OD，
∠AOC＝∠ODQ，
OP＝DQ
∴ △AOP≌△ODQ，
∴ AP=OQ；
2. 作PH⊥OA，如图所示：
∵ cos∠AOC=4/5，
∴ OH=4/5 PO=4/5 x，
∴ S△AOP=1/2 AOPH=3x，
又∵△PFC∽△PAO，
∴ y/S△AOP＝(CP/OP)^2
＝[(10-x)/x]^2
整理得：y=(3x^2-60x+300)/x.
定义域为：（50/13＜x＜10）；
3. 当一个三角形要是直角三角形时，应分别讨论三个顶角分别为直角的情况：
当∠POE=90°时，CQ=OC/cos∠QCO=10/(4/5)＝25/2，PO=DQ=CD﹣CQ=7/2（舍）；
当∠OPE=90°时，PO=AOcos∠COA=8；
当∠OEP=90°时，∠AOQ=∠DQO=∠APO，
∴∠AOC=∠AEO，
即∠OEP=∠COA，此种情况不存在，
∴ 线段OP的长为8.
考点总结：
本题考查了圆的综合知识、相似三角形的判定及性质等知识，综合性较强，难度较大，特别是第三题的分类讨论更是本题的难点。
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