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【方法梳理】:
1.四步法;2.定量法;3.方程法
例1.一本书120页,第一天看了全书的1/6,第二天看了余下的1/5,第二天看了多少页?
解析:分数1/6的分数单位“1”是全书的页数,而1/5的分数单位“1”是第一天看后余下的页数,分数单位“1”发生了变化,我们仍按“四步法”的解题思路分析解答
(1)第一个分数:1/6
第一步:确定单位“1”:1/6的分数单位“1”是“全书的页数”;
第二步:确定乘除法:这个分数单位“1”是已知的,用乘法解题;
第三步:列式计算:120×(1/6)=20(页);
第四步:检查:是否还需要计算步骤:余下的页数:120-20=100(页)
(2)第二个分数
第一步:确定单位“1”:1/5的分数单位“1”是“余下的页数”;
第二步:确定乘除法:这个分数单位“1”是已知的,用乘法解题;
第三步:列式计算:100×(1/5)=20(页);
第四步:检查:是否还需要计算步骤:20页即是第二天看的页数,解答完毕;
例2.一台售价1800元的洗衣机,先提价3/10,再降价3/10,现在的售价是多少元?
解析:第一次分数3/10的分数单位“1”是原价,而第二个分数3/10的分数单位“1”是提价后的售价,分数单位“1”发生了变化,我们仍按“四步法”的解题思路分析解答
(1)第一个分数:3/10
第一步:确定单位“1”:3/10的分数单位“1”是“原价”;
第二步:确定乘除法:这个分数单位“1”是已知的,用乘法解题;
第三步:列式计算:1800×(3/10)=540(元);
第四步:检查:是否还需要计算步骤:提价后的售价:1800+540=2340(元)
(2)第二个分数
第一步:确定单位“1”:3/10的分数单位“1”是“提价后的售价”;
第二步:确定乘除法:这个分数单位“1”是已知的,用乘法解题;
第三步:列式计算:2340×(3/10)=702(页);
第四步:检查:是否还需要计算步骤:现在的售价为:2340-702=1638(元);
例3.一堆沙子共100吨,第一次运走了1/2,第二次运走余下的1/3,第三次运走余下的1/4……,最后一次运走余下的1/100,这堆沙子还剩下多少吨?
解析:分数1/6的分数单位“1”是全书的页数,而1/8的分数单位“1”是第一天看后余下的页数,分数单位“1”发生了变化,我们仍按“四步法”的解题思路分析解答,由题便知,此题具有规律性,故列综合式在计算上可以利用巧算来解题。
列式为: 100×(1-1/2)×(1-1/3)×(1-1/4)×…×(1-1/100) =100×1/2×2/3×3/4×…×99/100=100×1/100=1
例4.阅览室共有75名同学在看书,女同学占总人数的3/5,这期间有几名女同学离开了,这时女同学占了总人数的4/7,问有多少名女同学从阅览室离开?
解析:分数3/5的分数单位“1”是原来总人数,而4/7的分数单位“1”是现在总人数,分数单位“1”发生了变化,我们先按“四步法”思路分析,再借助“定量法”解题。
(1)第一个分数:3/5
第一步:确定单位“1”:3/5的分数单位“1”是“原来总人数”;
第二步:确定乘除法:这个分数单位“1”是已知的,用乘法解题;
第三步:列式计算:75×(3/5)=45(人);
(2)第二个分数:4/7
第一步:确定单位“1”:4/7的分数单位“1”是“现在总人数”;
第二步:确定乘除法:这个分数单位“1”是未知的,用除法解题;
第三步:列式计算;
【思考】思路走到这步,就没办法进行下去了,因为无法得知现在的女同学人数,故无法直接列式解答。需另行思考:女同学人数因离开有变化,但男同学人数未发生变化,且由题可得男同学人数占现在总人数的5/7,我们抓住这个“不变量”列式求出现在的总人数。
列式为:(75-45)÷(1-4/7)=70(人)
第四步:检查:是否还需要计算步骤:女同学离开人数为:75-70=5(人);
5. 阅览室许多同学在看书,女同学占总人数的3/5,这期间有5名女同学离开了,这时女同学占了总人数的4/7,问原来有多少名同学在阅览室看书?
解析:
方法一:四步法+定量法---列式解答
显而易见,题目中的分数单位“1”发生了变化,我们先按“四步法”思路分析,再借助“定量法”解题。
第一步:确定单位“1”:3/5的分数单位“1”是“原来总人数”;4/7的分数单位“1”是“现在总人数”;
第二步:确定乘除法:这两个分数的分数单位“1”均是未知的,用除法解题;
第三步:列式计算:5÷______________;
【思考】思路走到这步,就没办法进行下去了,由于3/5、4/7的分数单位“1”不相同,不能直接进行加减运算得出离开女同学的对应分率,故需要采用“定量法”,把分数单位“1”先统一。女同学人数因离开有变化,但男同学人数未发生变化,我们可以把分数单位“1”统一为不变量“男同学人数”。由女同学占总人数的3/5,可知总人数平均分成5份,女同学占3份,男同学占2份,故女同学是男同学的3/2,同理,女同学占现在总人数的4/7,可以转化成,现在女同学占男同学的4/3,这样离开的女同学的对应分率即为:3/2-4/3=1/6,即可列式求出男同学人数。
列式为: 5÷(3/2-4/3)=30(人)
第四步:检查:是否还需要计算步骤:
原来总人数为:30÷(1-3/5)=75(人);
方法二:用方程解答
第一步:利用解题技巧,写出等号右边部分:_______________=5
第二步:根据等号右边部分表示的量写出等量关系式:原来女生数-现在女生人数=5
第三步:把等量关系式换成方程并解答:
设原来总人数为x人,则原来女生人数为3/5 x人,现在总人数为(x-5)人,现在女生人数为4/7(x-5)人
由等量关系式可列方程为:3/5 x-4/7 (x-5)=5
解得:x=75
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