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统计学的故事统计学的故事纪宏袁卫文年月第一回人类发现了统计统计改变了世界若想了解上帝在想什么我们就必须学统计因为统计学就是在量测他的旨意。南丁格尔列位一般故事或小说的开头总是写的比较虚没有什么干货只是交代一些背景。平均说来到了第三回主要人物才出现到了第五回矛盾冲突才展开。本文也决不敢例外。大千世界芸芸众生悠悠上下五千年坐地日行八万里。这个世界所在的宇宙真奇妙时间上没头没尾空间上没边没沿。世界上的万物真复杂自然界和人类社会好像都受到某种力量和规律的支配可怜的是我们还无法确切地认识、把握这些力量和规律偶然事件常常捉弄我们的命运。这个世界上的人们真倔非要把这个很难描述的世界包括客观世界和我们的主观世界整明白不可大到宇宙空间小到基因和纳米探索者前仆后继没完没了。任何值得一提的文明都探索过真理冥思苦想的人们尽管不能完全确切的但总是试图解释复杂多变的自然现象和人类自身。在很早很早以前人们认为自然是神秘、无序甚至是恐怖的。而人类自身也有很多谜题例如人类为何定居在这个地球上人生的目的是什么人类的终极归宿何在等等。这些问题的答案一般是由宗教领袖给出的。过了很多很多年智者、思想家和勇敢的科学先驱们或统称为人民逐渐摒弃了上帝按其意愿创造了人和物质世界的信仰。他们发现人类有智慧用思维佐以观察或实验就能够发现各种谜一样的自然活动和人们自己。他们用思维与似乎瞬息万变的现象抗争并将理性之光洒于其上。先驱的态度是理性的、批判的和反宗教的。由于他们的态度较好终于得出了这样一些结论：自然和人类社会是有序的按完美的设计而恒定地运行着从星体的运动到树叶的颤动从人们的行为到人们的观念所有感官能感知的东西都能用一种精确、和谐而理想的形式来描述。用土话说自然和社会都是有规律的这种规律虽然不受人的主观意志的影响却能被人的思维所理解。又过了很多很多年经过无数人大胆的观察、敏锐的猜想、天赋的直觉和一不怕苦二不怕死的精神建立了现代科学的理论体系和思想体系。在天文学、物理学、生物学、人文社会科学以及数学和哲学等领域都取得了重大成果。虽然数百年来科学和哲学的门派林立各自有各自的掌门人各自占据着各自的山头都因自己发现真理而笑傲江湖。但有一个基本观点被大多数人承认即这个世界是有规律的。我们是否可以用身边的事和通俗的语言解读一下科学巨匠们所研究的规律。请想一想我们身边经常发生的重复出现的、有规律的现象：太阳每天从东方升起冬天过去春天就要来临物体失去支撑就会坠落“神舟五号”飞航按设计的轨道运转经济按市场规则运行奔波的人们按自己的哲学度日。对不同领域中的规律进行探索和描述便形成了不同的学科。将不同学科的理论、方法、思想进行提炼便形成了哲学、数学、统计学这样一些横断科学。同时我们在发现我们周围的事物没有任何一次重复是完全的“克隆”没有任何东西会把一切细节完全重复出来。太阳每天从东方升起但天安门广场上与太阳同时升起的国旗其升旗时间却每天不同冬天过去春天就要来临但今年的春色比去年更加明媚物体失去支撑就会坠落但受风速、风向、地心引力等很多细小因素的影响两个同样重的物体坠落速度和落点会有差别“神舟五号”飞船按设计的轨迹运转但每次经过我国领空的时间都略有差距经济按市场规则运行但今年的GDP比去年增长奔波的人们按自己的哲学度日但一年又一年我们的生活逐渐发生了改变。因此任何科学都只能预见大体上的重复现象。行笔至此我们是否感到统计学太重要了。统计学就是通过差异描述规律透过现实走向理性走出混沌走向秩序的学科。“可以毫不夸大地说现代科学的发展是在关注大数目现象的标志下进行的很快就不会有不了解研究的随机性统计方法的知识分支了”。的确理、工、农、医、文今天很难找到一个不使用统计的学科了它在解决现代科学的那些最重要的和最多样化的课题中起着主导作用。统计学是科学的“母亲”和“仆人”。说她是“母亲”因为统计学为其他学科起着孕育、生产新思想的作用说她是“仆人”因为统计学是其他学科的工具用统计规律逼近客观规律的工具。但是故事总有插曲关于统计学客观基础问题的争论从来未停止过。从古希腊思想家那里开始到现在一直存在两种对立的意见。一种意见认为世界的本质是确定的随机性只是由于人们认识的局限性而产生的噪音他们总是将所有现象都解释成无微不至的事物秩序所产生的结果在事物的重复出现中会因很多细节而产生差异但这种差异只是目前人们还不了解这些细节而已。统计学只是对随机性差异的度量是主观内容的范畴在客观世界中没有什么对应他们的东西。虽然统计学在科学研究中起着重要作用但这个作用只是在认识过程中由相对真理到绝对真理的迈进中的作用。因而这种意见认为只有数学才能牢固把握客观世界的所作所为能瓦解玄秘并代之以规律和秩序。而统计学则是由于人力所不及不得已而为之的方法其基础不是客观的只是人们知识不足和信息不完备的代名词虽然统计学是我们人类自己发明的探索客观规律最好用的方法但数学才是上帝的宠儿统计学只是人类的智慧。爱因斯坦给波尔的一封信中有这样一句名言：“你信仰掷骰子的上帝我却信仰客观存在的世界中完备的定律和秩序”。文中暗表那个时期人们所说的上帝似乎有两种意思一种意思是神学中的上帝和中国的玉皇大帝、灶王爷之类的东西相似另一种意思是好像是指不为人们的意志为转移的客观规律斯密的“看不见的手”与其有点相近。在那个神学和科学混合的时代这两种意思很难分清楚只好麻烦读者自己判断。直到世纪初科学界一直是这种观点即机械决定论占统治地位。牛顿力学被称为科学思想的典范学者们总是力图使科学规律符合严格确定性的理想。关于统计学客观基础问题的另一种意见认为随机性本身也是客观的统计学则反映的是知识体系中不依赖于人的关于客体的内容上帝和人间的赌徒一样也喜欢掷骰子。有一个著名的故事：拉普拉斯把他写的《天体力学》献给拿破仑。《天体力学》是一本极具影响力的书描述了如何根据地球上的观测数据来计算行星与彗星的位置。拿破仑看后说：“拉普拉斯先生你写了这本关于宇宙系统的书却根本没有提到他的创造者上帝”。据传说拉普拉斯回答道：“我不需要这个假设条件”。拉普拉斯的《天体力学》虽不需要上帝但它需要另一种东西叫误差函数。从地球上观测行星与彗星的位置与预测值并不完全吻合拉普拉斯将其原因归结为观测误差包括随机误差和人为误差并都放入误差函数中。当时的科学家都认为随着测量越来越精确最后一定不再需要这项误差函数。谁知到世纪末随着测量越来越精确反而越来越测不准了。最终人们发现这些误差一方面是由于测量技术问题另一方面是由于被测量的客体本身具有随机性。机械式的宇宙观开始动摇一些企图寻找生物学定律和社会学定律的努力也徒劳无功甚至有些传统学科领域如物理学和化学当时所用的那些定律也被认为仅仅是粗略的逼近。科学家从理论上和实践上都充分证实了严格决定论对描述客观现象的不适应性和不可归结性。布朗运动、混沌动力学、量子力学、耗散结构都证明了经典决定论已逐渐向统计决定论转移。人们的科学观念发生了新的变化。自然和社会中不规则、不连续、不稳定、非平衡的领域不断扩大其中充满了涌现、转化、意外和机遇。科学探索也达到了这样的境界：科学家对客观事物的描述和预测的精度已不能通过改进操作技巧提高测量的精密度加以改善他们发现根本没有可能发现严格的因果依赖性可以找到的只是统计的因果规律。您瞅瞅统计的用处有多大尽管统计学的客观基础问题还在争论不休但统计已改变了世界已成为科学与管理的工作母机现在谁也离不开统计了。人们形容一个智障的人时常说：“这个人缺数”译成专业术语就是：“这个人不懂统计”。统计也成为现代人基本素质的构成要素成为我们世界观的一个组成部分。人类的处境挺可怜的我们是广褒宇宙中的流浪汉孤单地生存在一个冷酷、陌生的空间里。我们可能是在最近一个冰川期后起源的在自然的劫后余迹前孤立无援生存在茫茫的时间中。我们依靠地球提供衣食我们每个个体的出生都是随机事件的牺牲品。为了解决生命的寂寞、穷困、艰险和短暂我们要与天斗、与地斗不知为什么还非要与人斗。斗争中却也其乐无穷凭着一点有限的感性知识和大脑人类开始探究自然和自身寻求真理和秩序建立可以帮助我们获取有关生存环境奥妙的知识体系和解释模型而我们的辉煌成就之一就是统计学。尽管我们现在还不很清楚统计学的出现是由于人的聪明还是“天籁之音”。多少年来在深奥的学术争论和枯燥的统计数据背后有好多美丽的故事和动人的传说。我们试图收集一些讲给大家听。一般故事中没有美女便不引人入胜为满足大家对美的渴望本文下期便有美女出现请君欣赏请看第二回：美女午间品茶费雪突发灵感。参考文献：《统计改变了世界》萨尔斯伯格著叶伟文译台湾天下文化书坊《世界统计名人传记》龚鉴尧著中国统计出版社《统计发展史》陈善林、张浙编著立信会计图书用品社《殴美统计学史》高庆丰中国统计出版社第二回美女午后品茶费雪突发灵感养猴人心中暗笑：“朝四暮三和朝三暮四不是都等于七吗？这畜牲就是不如人聪明。”猴子们窃窃私语：“朝四暮三和朝三暮四虽然吃到肚子里都等于七但朝四暮三更符合早吃饱晚吃少的科学道理不信去问问费雪。人虽然比我们聪明但没学过统计的人智商还真不如我们高。”新《齐物论》二十世纪二十年代后期的一个夏日午后一群风度翩翩的学者偕夫人及漂亮的女友正在英国剑桥的户外餐桌旁悠闲的品茶论道。席间一位美丽的女士惊呼午茶的调制顺序对味道有很大影响。把茶加进牛奶里和把牛奶加进茶里喝起来风味完全不同。出于对女性的尊重那些学者们面带绅士的微笑内心却不以为然甚至是藐视依据他们的科学头脑分析茶和牛奶两种物质混合结果的化学成份不会因为调制顺序不同而产生不同怎么会喝起来不一样呢？文中暗表这个命题的假定前提是不论调制顺序如何牛奶和茶的比例是固定的或是基本不变的。美丽女士提出的问题是朝四暮三和朝三暮四的关系而不是朝四暮三和朝四暮四的关系。古板的英国绅士一定会把古板的精神带到生活细节中所以这个假设前提一般会成立。书归正传正当众学者对美丽女士的说法嗤之以鼻时有个身材瘦小的嘴上留着灰白胡子的绅士挺身而出抓住了这个问题。此人便是在统计发展史上地位显赫、大名鼎鼎的费雪（RonaldAylmerFisher－）伦敦人氏英国统计学家。费雪当时显得非常兴奋好像发现了大元宝。“让我们来检定这个命题。”说着在众位学者的帮助下他开始进行实验。他们设计并调制出很多杯不同的茶有些先放茶水再加牛奶有些先放牛奶再加茶水然后按照既定的顺序一杯一杯拿给美丽女士品尝分辨但她并不知道每杯茶的调法。费雪端给她第一杯茶她尝了一口然后说出这杯茶是先放茶水后加的牛奶还是先放牛奶后加的茶水。费雪记录下她的说法再送上第二杯……。读者可能会问这个看上去没什么科学价值的实验是我们的这位尊敬的费雪先生从事科研之余闲着没事干找个由头和美女套近乎还是有什么别的原因。说来话长从世纪甚至更早的时候起科学实验已经进行了几百年。实验是发现、检验和积累知识的工具。但是在费雪时代以前实验带有科学家个人浓厚的独特风格并没有科学的规范、程序更谈不上实验设计。一流的科学家可以做出很有价值的实验产生新知识而不入流的科学家只是盲目地进行实验虽然生产出一些数据但对生产和积累知识没什么用处。此外世纪以前的科学家很少发表自己的实验结果他们仅描述研究结论并公布那些能证明此结论真实性的数据。至于实验过程和实验结果的科学性和可靠性我们不得而知。虽然科学是从发现问题、周密思考、观测与实验发展而成的但究竟要怎样做实验却从来没有被提及。经过多年的成功与失败实验设计的理论和方法才发展起来。年奥地利统计学家孟德尔（GregorJohannMendel－）不知为什么突然对豌豆情有独钟非要把豌豆及遗传规律弄明白不可。他在教堂的后花园内一块不到平方英尺的畦田上对豌豆及和豌豆有关的属类进行了实验一干就是八年。经过八个春秋的耐心实验、仔细观测、不厌其烦终于从宝贵的实验数据中获得了具有普遍意义的遗传统计规律。孟德尔成功的诀窍之一就是在整个实验进程中自始至终都闪烁着可贵的统计思想。孟德尔靠自己敏锐的直觉无意中按照现代推断统计的初步原则粗糙地进行了实验设计。也就是说要设计一种较少规模的实验既要保持植物天然杂交的程序具有一定的代表性又要尽量简化不必要的过程和减少偶然的随机干扰便于观察研究。费雪在年指出：孟德尔是在总结前人实验的基础上已经从理论上预料到会出现什么样的数据然后才去安排实验的因而只需要不多的数据就得出完美的结果。但是孟德尔只是公布了能够证明结论的数据而不是全部实验数据。年费雪检验了孟德尔公布的数据发现这些数据完美得像真的根本没有展现应有的随机程度。在孟德尔之后统计实验有了很大的发展以剑桥学派首要人物贝特森（WilliamBateson－）教授为首的遗传实验学派主张在实验中贯彻样本统计推断思想以园田小样本实验为基本方法。他们认为没有一定实验设计在事先指导就是把数据收集得再多也难说是很充分的说不定还可能是没有价值的。如果事先有了精心的实验设计就不需要大样本其结果也能够接近理论预测水平。可见贝特森学派的统计实验已接近现代推断统计。以英国生物学家和统计学家皮尔逊（KarlPearson－）为首的生物统计学派以统计观察和描述作为进化和遗传的研究方法。他们认为：从大量信息中提取出的数据是得出一切正确结论的充要条件其有效性是不可怀疑的。而仅仅做几个实验就推出全面的结论在他们看来只是井底观天是危险的。令人反感的（Naughty）从大量观察中整理和计算出有说服力的数据才是实验的关键。因而生物统计学派在整理手段和计算手段上取得了很大的成绩如卡方检验、相关法、回归法的发展和完善等。年英国统计学家戈塞特（WilliamSeelyGosset－）在都柏林找到了一个令笔者垂涎的职业到一家酿酒公司担任酿造化学技师从事统计和实验分析工作可以边喝啤酒边搞科研。但戈塞特首先碰到的困难是供应实验用的麦子数量有限无法采用当时通行的大样本观察和推断理论而且每批进厂原料的质量都有所波动对温度的变化也很敏感。万般无奈戈塞特着手从小样本开始分析实验数据。小样本数据存在两个问题：一是误差怎样解决二是如何从中尽可能得到较为可靠的结果。酒是个好东西李白斗酒诗百篇戈塞特的酒也没白喝。他经过反复研究实验确立了小样本理论。年戈塞特以学生（student）为笔名在《生物计量学》杂志上发表了“平均数的概率误差”。由于这篇文章确立了“学生t检验”的基础因而许多统计学家把年看作统计推断理论发展史上的里程碑。将戈塞特称为小样本理论的创立者和实验分析的先驱。费雪称他为“统计学史中的法拉第”。费雪生的挺是时候前面有很多科学家在实验设计方面积累了经验和教训眼下又有美女相伴引发了灵感更重要的是他的天赋和勤奋创立和完善了实验设计理论和方法。自年起费雪在卢桑姆斯坦德农业实验站工作了年在实验活动中不断收集肥料、雨量、遗传、土质、细菌、收获量等资料。与孟德尔修道院的后花园的条件相比实验的环境更不易控制。引起实验结果差异的因素主要有两个：一是在田间实验中土质、光照等客观条件不同二是实验方法不同。由于这两个因素往往同时起作用因此如何从总差异中分解出这两个因素各自的影响以及如何测定它们是费雪所面临的问题。经过多年的努力自年费雪陆续发表了关于在农业实验中控制误差的论文。首次提出了方差分析、随机区组、拉丁方等控制、分解和测定实验误差的方法。这样费雪的主要实验设计方法在至年代完成。年费雪完成了在科学实验理论和方法上具有划时代意义的一本书《实验设计》。在书的第二章费雪就提到了剑桥午后的品茶和那位美丽的女士。当时费雪设计了各种可能的实验方法来测试美丽女士能否分辨出不同的茶。问题是如果美丽女士只是哗众取宠而没有真本领能分辨出不同的茶那么拿一杯茶给她品尝她也有的机会猜出这杯茶的调制方法如果给她两杯茶她还是有猜出的可能如果给她两杯调制方法不同的茶她可能一次全部猜错或全部猜对。如果美丽女士有真本事确实能够分辨调制方法不同的茶但她还有可能弄错或是茶水和牛奶没有混合好或茶水温度不够影响了味道或她喝了很多杯以后感觉已经不太灵敏。总之品了十杯茶有可能会弄错一杯。在书里费雪讨论了各种可能结果描述了该准备多少杯茶依照什么顺序拿给她然后根据她回答的正确与否计算出各种结果的概率。这就像笔者给学生出考卷一样根据教学的内容一份考卷应出多少道题各类题的顺序如何选择题的备选答案如何排列。总之是为了让学生考出水平让好学生可以得高分让不好好学习、仅凭临阵蒙事的学生可能蒙对一、两道题但还是不及格。费雪的成就引起了广泛关注首先是农业科学家了解到实验设计的伟大价值。不久费雪的方法成为农业科技上的主流学派后来又被他的学生推广到其他科学领域。至于剑桥午后品茶的那位女士据说她能分辨出每一杯茶全部答对看来这位女士不仅仅是美丽。哲人说得好女人是感性动物男人是理性动物。如果感性动物与理性动物联起手来科学的天空将更加美丽。请看第三回：彩虹为何眩目且听统计描述。参考文献：《统计改变了世界》萨尔斯伯格著叶伟文译台湾天下文化书坊《世界统计名人传记》龚鉴尧著中国统计出版社《统计发展史》陈善林、张浙编著立信会计图书用品社《殴美统计学史》高庆丰中国统计出版社第三回彩虹为何眩目且听统计描述如果人总是从一滴水中观察光线的反射他就很难理解美丽的彩虹现象凯特莱有一句歌词写的挺好：“不经历风雨怎能见彩虹”。好就好在写得有些道理。第一这句歌词写清楚了风雨和彩虹的关系。风雨在前彩虹在后风雨是因彩虹是果风雨是解释变量彩虹是被解释变量。第二这句歌词还告诉我们透过一滴雨水是看不见彩虹的。虽然歌词没有讲清楚能够看见彩虹的雨是中雨、大雨、还是暴雨但必须是有足够多的雨滴组成的雨。词作者可能不懂统计但他有大数定律的朴素思想。但是歌词写得虽好在理论上还存在一些问题。在自然现象中风雨一般是结伴而行的有一句话叫“风雨交加”嘛。但经科学分析我们可以得出结论风和彩虹没什么相关关系将风雨加在一起写进歌词好像风和雨对彩虹的出现各有的贡献与事实不符。显然词作者在这方面的知识不如凯特莱至少他不懂变量筛选技术。更严重的问题是词作者遗漏了一个更重要的变量即雨后的阳光。不论雨量大小多么适合彩虹出现如果雨停的时间正好是后半夜也绝见不到彩虹。如果笔者写这句歌词绝不会出现上述的不严密。比较准确的表述是：雨后的天空当雨滴还飘散在空气中来自远距离的太阳光线投射在雨滴上产生一系列的彩色圆弧可分解为赤、橙、黄、绿、青、蓝、紫七色光带此时天空中的景色异常美丽这就是人们通常所说的彩虹现象简称彩虹。有时在彩虹的外侧还能看到第二道虹光彩比第一道彩虹稍淡称为霓。虹和霓的色彩排列次序正好相反。虹的色序是外赤内紫而霓的色序是外紫内赤。以上表述便是彩虹的比较全面的定义。此定义虽比原歌词严密但估计谱上曲子唱出来可能没有原歌词上口。多少年来在人们看来彩虹是美丽而神秘的。史书有记载民间有传说少女借其抒情词人借其咏志。早年间希腊女神Iris把彩虹作为警示和希望的征兆在非洲的神话中彩虹被认为是暴风雨过后出来掠物的巨蟒我国殷代甲骨文中认为彩虹是龙在雨后的显形所以虹字带上了“虫”字旁并一直沿用至今。科学家这里主要指物理学家和统计学家忒不会浪漫他们非要打破人们对彩虹的七色梦幻还其以一个用科学解释和变量描述的本真。经过他们几百年的努力彩虹的谜团正在解开。“赤橙黄绿青蓝紫谁持彩练当空舞”。是什么东西决定了彩虹的出现彩虹为什么有七种颜色七种颜色为什么又有特殊的排列彩虹为什么在当空舞成一个抛物线即一段圆弧“当空”到底有多高即什么决定了彩虹的高度为什么虹出现以后有时还会出现霓等等。从十四世纪开始科学家包括笛卡尔、牛顿等一些科学巨匠就开始捉摸这些问题。逐渐地人们开始认识到彩虹与雨滴对光的反射和折射有关。任何一门应用统计都是统计理论与方法和所应用领域学科的结合。经济统计学就是统计理论与方法和经济理论的结合。彩虹问题也不例外应当是光学与统计学的结合。但笔者的光学知识甚少只停留在光线太暗了什么都看不见光线太强了刺眼的水平上。所以在彩虹问题上笔者出现的系统误差请读者不要太挑剔。远在年法国数学家、物理学家、概率统计的奠基人费尔马（PierredeFermat）提出了著名的Fermat原理。费尔马发现光线是沿直线传播的遇到障碍物又能拐弯由于介质不同或不严格地说障碍物不同光线的拐弯可分为反射和折射。我们假定天空中的雨滴是一个球体。太阳光从远处通过空气射到雨滴由于远处很远所以可以假定太阳光线是相互平行的。阳光从空气穿过雨滴的过程中一部分光线被反射另一部分光线通过折射而进入雨滴内部进入雨滴内部的光线又经过反射和折射最后再折射回空气中便形成了虹。如图所示：A点为光线的照射点即光线通过空气和雨滴的交接点。一部分光线经过A点反射出去其余光线通过雨滴而折射α是入射角β是折射角当光线折射到B点再B点光线又经过反射通过C点最后在C点折射回到空气中这一过程称为一次反射途径。如图所示只要A点在雨滴的左侧上方任何一点它都在雨滴的下半部离开雨滴。虹的出现与光线离开雨滴时的方向折射情况有关即与光线的折射的角度有关。若光线是沿着圆的直径方向进入雨滴则入射角为°折射角也是°最后光线从雨滴的后面反射出来退出雨滴从顺时针方向来看总的折射角是°。由于圆是对称的因而只需考虑左上部的四分之一圆上的点即可即对于。在A点经折射折转了在点经反射又折射了最后在C点再折射设为光线折射的角度则：根据折射定理：入射角的正弦与折射角的正弦之比为常数即有称为折射率。因此令得由可以得到即实验证明光在空气中的速度大于在水中的速度。由于雨滴是水折射率所以有。并且有：。由于。其中。所以故这表明在时取得最小值。这就是虹出现的位置射入角为°的光线为虹光线°=°–°为虹角。因此雨滴在观测者的特定角度下它将呈现较亮的光线。如果观测者处于顶角为二倍虹角的圆锥顶点处这时用垂直于轴的平面去截圆锥就会得到一个圆形的截面每个锥表面上的雨滴都构成虹角于是观测者就看到了天空中一条明亮的圆弧这就是虹。虹出现的高度依赖于太阳的高度。对于地面上的观察者来说虹最多是个半圆。如果观察者能飞行到一定高度虹则是一个完整的圆。虹为什么有七种颜色呢因为光线是一种电磁波具有连续的波长光谱。波长在看到的是红色波长在看到的是紫色其它颜色的波长介于二者之间。而且水的折射也依赖于所通过的光的颜色红光的折射率为紫色的折射率为。针对不同颜色的光可以重复计算最小折转角。红光的最小折转角为°相对应的虹角为°紫光的最小折转角为°相对应的虹角为°。也就是说观测者在观看彩虹时看到的红光圆弧略高于紫光圆弧混有不同波长的阳光射在雨滴上折射出各种不同颜色的圆弧顺序为赤、橙、黄、绿、青、蓝、紫。我们构造的彩虹模型只是一个理论模型相当于回归分析中设定的理论曲线。在实际观测中我们会发现彩虹的高度是有时高有时低长度是有时长有时短亮度有时明有时暗弧度是有时弯有时缓更接近一幅散点图。很多年来时有学者对其进行观测和计算。牛顿经过测算更正了“平行光线”的假定得出了太阳直径允许有°的偏差虹的宽度约为°的结论与实际观测结果基本一致。虹是由阳光的第一次反射形成的而霓则是由第二次反射形成的建立模型的基本道理一样只是更复杂一些。为避免言多语失让物理学家看见笑话恕不赘述。读者看罢此回可能产生不满统计是有用处但彩虹用处不大。它不顶吃,不顶喝远在天边只有视觉享受。不如将有用的统计用于我们身边。笔者十分理解读者感受我们不仅要将统计应用于我们身边还要应用于我们身上。请看第四回：君欲减肥成功统计授你秘诀。第四回君欲减肥成功统计授你秘诀“楚王爱细腰宫中多饿死”。旧时的女儿家不仅痴情而且无知他们不知道不仅饿饭可以形成美丽腰身而学会了统计学的有关知识后不饿死也能使腰细得让“楚王”或白马王子喜爱。新编《人体投入产出模型》第五章随着生活水平的提高似乎出现了这样一个统计规律恩格尔系数逐渐降低人们身上的肉增长到临界值以上便形成了肥胖。目前肥胖已成为社会关注的、特别是少女关注的一个重要问题。不仅从健康的角度还是从审美的角度人们越来越重视自己的身条儿。虽然这些减肥食品中有蒙事儿的众多减肥中心中有不健康的但从人体所需能量的摄入和消费两个方面看减肥的做法是有一定科学道理的。古今中外不少医学家、遗传学家、运动生理学家和追求瘦身的美女都探讨、研究和实践过减肥问题。笔者经研究认为只有统计学进入这个领域后才使得减肥问题变得更加科学和可测度。古希腊哲学家亚里士多德有句名言：“运动太多和太少同样地损伤体力饮食过多和过少同样地损伤健康唯有适度可以产生、增进、保持体力和健康”。但是亚里士多德没有提出适度的数量界限即运动量多大才适度运动量和饮食量如何搭配才适度。同理几千年后伟人毛泽东提出了“忙时吃干、闲时吃稀”的科学道理但他也没有界定忙到什么程度吃干闲到什么程度吃稀吃干时可忙到什么程度吃稀时可忙到什么程度的数量标准。统计学介入后情况就不一样了。世纪至年代日本香川女子营养大学香川绫博士和五明纪春博士在数据调查、测算和分析的基础上对多种经常食用的食品进行了分析根据营养成分、热量、对肥胖的作用以及膳食搭配习惯等标志将其分成四组又根据日本人的基本代谢、日常生活活动和运动对能量的消耗进行了数据分析得出了相应的数据标准绘制了不同性别、不同年龄组的人判定胖与瘦的相关图。同时世界上许多国家的学者或研究机构也根据自己的人种制定了有利于健康的膳食和运动的数量标准。我国生理科学会也修订了我国人民的每日膳食指南刘来福和曾文艺教授提出了减肥模型。为了维持人体正常生理功能的需要我们要不断的补充能量。能量之源是营养素或不严格地讲是食物。所以我们一顿不吃饭就饿得慌。人体需要多少能量主要取决于三个因素：一是维持人体基本代谢所需要的能量。基本代谢是指我们躺在炕上一动也不动机体仍要进行的最低限度的必要活动如保持体温、心跳、呼吸等。从理论上讲基本代谢所需能量与人的体表面积正相关在实际测度时一般用人的体重代替体表面积。平均来说成年男子每千克体重每小时平均消耗能量焦耳成年女子为焦耳。二是食物的特殊动力作用所消耗的能量即将食物转化为人体所需能量而消耗的能量。不同种类的食物其特殊动力作用所消耗的能量不同平均说来食用普通的混合食物其特殊动力作用所消耗的能量相当于基本代谢的。三是人们从事劳动（包括体力劳动和脑力劳动）和各种活动（包括运动）所消耗的能量。不同种类的劳动和活动所消耗的能量不同读者可参阅有关专业书籍。如果我们日常摄入的能量等于上述人体的需要量就能保持现有体重。如果摄入量小于需要量就要动用体内储存的能量而起到减肥效果时间长了就会对身体产生不利影响从腰变细直至饿死。如果摄入量大于需要量多余的部分就会变成脂肪存储与皮肤下久之就使腰身变粗。由于人体的脂肪使能量存储和提供的主要方式也是减肥的主要目标我们不妨以人体脂肪的重量作为体重和减肥的标志。已知每千克脂肪可以转换为×焦耳的能量记作：D=×焦耳千克称为脂肪的能量转换系数。人体每天摄入的能量用A表示。人体通过劳动和活动消耗的能量用R表示：R=rh（焦耳日）。其中r为每千克体重每小时劳动和活动所消耗的能量。人不可能一天小时都在劳动或活动h表示每天劳动和活动的小时数。人体用于基本代谢和食物特殊动力作用所消耗的能量用B表示B=b（焦耳日）。其中b为每千克体重每小时所消耗的能量因为人体每时每刻都在进行基本代谢所以要乘以小时。人不可能一口吃成胖子身上的肉是一天天攒起来的。同理减肥也是个慢功不可能一天就使得小蛮腰变成小细腰。所以体重是时间t的函数Wt。因而任何时间段内（tt△t）由于体重改变所引起的人体内能量变化应该等于这段时间内摄入的能量与消耗的能量之差即：Wt△t－WtD=A－BRWt△t以△t除以式（）两端并令△t→取极限可得：dwdt=a－dw其中：a=ADd=BRD。式就是减肥的理论模型。设t=位减肥模型启动的初始时刻这时人的体重为w=w以此为初始条件可求出式的解为：wt=Wedtadedt在式中设a=即停止进食从而无能量摄入这时体重的减少完全是由于体内脂肪的消耗而产生于是有WWtW=edtedt表示在时间t内体重减少的比率称为t内的体重消耗率。特别当t=时edt给出了单位时间的体重消耗率。ad是个重要指标。由于a=AD表示能量的摄入而增加的体重而d=BRD表示能量的消耗而减少的体重于是ad就表示通过能量的摄取对每的体重消耗所获得的体重的补充量。可以证明对于式来说当且仅当W*=ad W时有dwdt 表明只有W* W时才可能产生减肥效果。从式可以看出对于W*当t→∝Wt单调递减并且有Wt→W*也就是说式的解渐近稳定于W*=ad它给出了减肥过程的最终结果。称W*为减肥效果指标。从W*=ad=ABR可知B是基本代谢的能量指标虽与人的性别、体重有关但它不能作为减肥目的而任意改变。因而减肥效果主要受两个因素影响：一是由于饮食而摄取的能量A二是由于劳动和活动而消耗的能量R。A与R如何对W*产生影响呢显然有：A=W*BW*R式是R－A坐标系中过B点斜率为W*的直线。我们知道人通过饮食摄入的能量不能低于维持人体正常生理功能所需要的能量因而减肥指标存在着一个下限W当W*〈W时表明能量摄入过低不能维持人的正常生理功能所需时间长了就有饿死的危险我们称W为减肥临界指标。人们为减肥所采用的各种劳动和活动也有一个人体所能承受的范围因而能量消耗存在着一个上限R否则虽没饿死有可能累死我们记为 R R。于是在R－A平面上由R=R=RA=所界出的区域内被直线L：A=WBWR和L：A=WBWR分割为ABC三个区如下图所示。A区表明能量的摄取量高于体重为W时的消耗量WBR这时体重不会从W减少称为非减肥区。日本相扑运动员增肥时一定经过这个区。C区表明能量的摄取是A低于体重为W时的消耗是WBR因为W为减肥临界指标所以C区为危险减肥区饿死的美女都落在这个区。只有B区所表示的能量摄取量A与劳动和活动消耗量R的组合才能实现有效的减肥故称B区为有效减肥区。上图还表明活动量不变只是一味节食或饭量不变只是一味加大活动量都不能产生理想的减肥效果两个因素必须协调。上述减肥模型是从总体上构成的忽略了年龄、性别、遗传、健康状况等个体差异。但减肥是个对症下药的个体行为而个体差异对减肥的影响较大有的人有遗传是祖传的胖子有的人吃多少东西都胖不起来有的人喝凉水都长肉。因此读者如果有兴趣可以对自己的减肥状况进行一段时间的观察记录下自己饮食的种类和数量劳动和活动的种类和数量将其核算成以焦耳或卡路里为单位的能量利用减肥模型估计出自己的参数科学有效地指导减肥。本文的目的是想给大家提个醒儿不要盲目减肥要树立科学的减肥观念。可能会有读者责问：“按照你们故事里教的秘诀不但减肥没有成功反而更胖了怎么办”。好办笔者再给您支一招儿去学唱歌身宽体胖底气足可能会产生音箱的效果特别适合唱美声。请看下一回统计与音乐的交融科学与艺术的平均。第五回统计与音乐的交融科学与艺术的平均音乐是人类灵魂从计数中感受到而没有意识到这是计数的那种快乐。莱布尼兹声音是由物体的振动产生的不论是音乐还是噪声不论是嘹亮悦耳富有穿透力的抒情男高音还是摇头晃脑五音不太全的通俗女杂音儿都是从振动源如嗓子、胸腔等在三维空间上向外行进。当这些振动到达我们的耳膜时耳膜的振动就把信息传提到我们的脑中于是造成了听觉。通俗地讲音乐就是高于赫兹我们的耳朵能感受到的那种美好的动静儿。为什么音乐有高音和低音呢一般来讲这和发声体的振动频率有关。如何描述音乐中声音的高度呢最开始用的是由七个阿拉伯数字组成的简谱后来发展成由小蛤蟆骨朵组成的五线谱。简谱是一位法国修道士苏埃蒂于年首先使用的。上世纪初我国留学生沈心工、李叔同等从日本引入我国的。七个阿拉伯数字加上休止符、节拍等音乐符号进行各种排列组合便形成了乐谱。十个阿拉伯数字加上各种数学符号便可组成数学和统计学的研究内容。但音乐与统计学不仅仅是形似。若干世纪以来音乐与数学、统计学一直被联系在一起。所不同的事从理论上讲十个音符比七个音符能组合出更丰富的乐章。声乐的奠基人、德国物理学家亥姆霍兹说：“音调、响度和音色是音乐的三个主观量。”关于音乐这三大要素的研究与统计学有着不解之缘。音调与频率有密切的关系但他们又不是按严格的比例对应的。早在古希腊、毕达哥拉斯学派就发现频率每提高一倍音调又回到同一个调但提高了八度略有偏低还要把频率再提高一点以适应人的听觉。同理低音部分则听感偏高又需要将频率调低一点。两个相差八度的音之间可再划分若干个音它们按顺序排列起来形成音阶。有七个音的叫七声音阶有十二个音的叫半音阶还有五个音的叫五声音阶。五声音阶比七声音阶少了和两个半音。五声音阶现已不常用它在我国公元前世纪就产生了。所以现在形容一个人唱歌音不准时常称他五音不全。从一个音出发如何生出音阶中的各个音称为“生律方法”。“生律方法”有多种不同的“生律方法”成为不同的“律制”。用不同的“律制”构成音阶便形成不同的“音律”。“音律”中的每个音称为“律”。常用的“音律”有十二平均律五度相生律和纯律。钢琴的键盘就是按十二平均律的原理制作的。五度相生律现已不多见有时在弦乐独奏时还能用到。纯律主要用于无伴奏合唱。在不同“律制”中两个音之间的距离称为音程。由于音调与频率有大体上对应的比例关系因而音程可以用频率比来表示。不同的“生律方法”就是用不同的方法确定频率比。确定频率比要用到统计技术。古希腊人们就发现可以把音乐归结为数与数之间的比例关系。他们发现弦所发出的声音取决于弦的长度两根绷得一样紧的弦若一根是另一根的两倍就会产生谐音即两个音相差八度。如果两根弦长的比是∶则发出另一种谐音两个音相差五度等等。也就是说产生每一种谐音的多根弦的长度都成整数比。因而他们提出了音乐的基本原理是数量比的原理。音乐的和谐如多声部合唱等各种不同的音调按一定数量上的比例所组成。在此基础上后人研究并提出了美的比例关系。设有两个正整数p、q其算术平均值A=qp几何平均值G=√pq调和平均数H=pqpq他们之间在音乐中的关系为：A：G=G：Hp：A=H：q前者被称为完全比例后者被称为音乐比例。中国是崇尚礼乐的国家历朝历代对乐律的研究久盛不衰而且自觉或不自觉地讲乐律研究与数量研究联系在一起。远古时代人们创造出一种像排箫的编管乐器不同长度的管发出不同的音其外形与直方图非常接近。这种乐器最初能奏出含有三个音组成的五声音阶。到了商代在一个近似的八度中确定十二个律并在十二个律中选取五个或七个音组成的音阶体制才确定下来。到了春秋时期经过计算我国创造了一种“三分损益法”的生律方法使音乐变得更加感人悦耳。但是在这种律制中任意两律制间的距离或大或小例如以黄种为基音则比它高八度的清黄钟的音只能约略的比基音高一倍总存在着一个音差。由于音差的存在在转调时就比较困难。按这种律制制造的乐器只能奏出某种调式如需转调就要换乐器很麻烦。为了消除音差使乐器便于转调古代的中外音乐家都没有什么办法。年我国明代科学家、算学家朱载堉在其《律学新说》中提出了十二平均律的计算方法才解决了这个难题。十二平均律运用的统计学中几何平均的思想首先假定高低八度之间的十二音每相邻两个音的频率比基本相等设这十二个音的频率依次为aa……a,朱载堉发现他们基本上构成一个等比数列如图所示：公比q=aiaii=。朱载堉算得q=。事实上这时a=aq=a=a或者设第i个音的弦长为Ti则TiTi=qi=……T=Tq=T=T即a的弦长为a的弦长的。十二平均律解决了音差的问题使转调变得非常方便。声音使物体振动的频率造成的因而十二平均律平均的对象是比率。对比率进行平均最适合的方法是几何平均如平均利率平均速度都要用几何平均法现在开来这已是统计学的一个常识但在年前我国的算学家已经在音律的研究中能正确使用这种方法仍令笔者惊讶。世纪以后随着数学、统计学的发展除了制定音律用到数学和统计学得知识以外存在于音乐中的数量规律的到了更深刻的认识。瑞士数学家、物理学家、最大概似原则的最初提出者丹尼尔·贝努里年用概率技术进行数学的讨论并用于空气运动发生的乐器研究在对弦乐器的研究中得出了二阶常微方程。而后来他又与大数学家欧拉等人对各种管乐器进行研究设计了多变量的、高阶的偏微分方程。对音调、音量（响度）和音色三大音乐要素进行全面考察和研究世纪法国大数学家傅立叶做出了辉煌贡献。他证明了所有的乐音包括器乐和声乐都能用曲线来描述。音调与曲线的频率有关音量与曲线的振幅有关音色与周期函数的形状有关。由于管弦乐器的管长或弦长与频率有对应关系频率的变化则会呈现出某种曲线。例如平台钢琴的键的外形轮廓呈现出指数曲线形状而风琴的管呈现的是地道的直方图和近似的正态分布。随着计算机进入音乐世界音乐、数学、统计学的融合达到了空前的完美。许多乐器的设计和制作、作曲、歌手的包装等大都使用统计技术将他们产生的实际声音用图像显示出来有点像医学中的心电图等。而后再与用数学描述的理论的或理想的声音图像进行对比最后尽可能消除偏差以达到更接近理论值的艺术效果。严谨的统计不仅融入了浪漫的音乐逻辑思维的统计已融入了形象思维的文字。请看下一回：文学巨作《红楼梦》我给雪芹改文章。第六回文学巨作《红楼梦》我给雪芹改文章开篇不谈《红楼梦》读尽诗书也枉然曹公若懂概率论不让马尔可夫链。国际红学大会未入选论文俄国著名数学家马尔可夫（）在对俄语字母序列的研究中提出了马尔可夫随机过程后来扩展成统计学的一个分支对现代统计学的发展产生了深刻影响。语言结构中所蕴藏着的统计规律成了马尔可夫创造性思想的源泉。作为人类语言和文学发展的新方向马尔可夫的思想和工作在统计学与语言文学的结合上具有开创意义。而后到了世纪中期文献计量学、树立语言学、计算风格学相继诞生。统计学进入了一个全新的领域。我国学者也开始涉足这方面的研究。本文作者之一袁卫教授年在其专著《统计推断思想》一书中给我们讲述和分析了曹雪芹一个鲜为人知的故事。在《红楼梦》第六十三回“寿怡红群芳开夜宴死金丹独艳理亲丧”中宝玉过生日晚上请来了林黛玉、史湘云、薛宝钗、李纨、探春、薛宝琴等在怡红院玩骰子抽签的游戏。大家围成一圈按照摇出骰子的点数数到谁谁就从签筒中抽出一签按照签上要求或罚作诗或罚喝酒。按照电视连续剧《红楼梦》编剧周雷的考证。其位顺序见图：开始时由晴雯第一个摇装有四个骰子的罐儿。摇毕一看是为点即个点和个点。然后由摇骰子本人晴雯算起按逆时针方向数至第人是宝钗。由宝钗抽签、再摇、再数……依次类推。见表：表大观园群芳掷骰子顺序、点数表摇骰次数传递顺序点数晴雯宝钗宝钗探春探春李纨黛玉湘云湘云麝月麝月香菱香菱黛玉黛玉袭人我们感兴趣的是摇四颗骰子出现的点数分布设这四颗骰子均为正常的骰子则其分布率如表所示：表掷四颗骰子点数的分布律点数（Ai）理论次数概率P（Ai）实际次数合计我们看到晴雯、宝钗等共摇了八次竟然有六次结果是小于百分之五（）的小概率是事件。特别是晴雯和香菱分别摇出了概率为和的点和点。这种小概率时间对于单独的一次来说是不可能发生的。对于总共只有八次的情况出现的概率应该说是很小的。那么是否应怀疑所摇的骰子中有假呢这个可能性也应该排除因为曹雪芹书中并未作此交待况且宝玉他们仅仅是摇骰子做游戏而并非赌博并无作假的必要。那么出现这种小概率事件应作何解释？依笔者推测曹雪芹在写到这一回事事先确定了摇骰子的几位人物并为他们设计了签子及诗句以作为此人命运的写照和伏笔。例如轮到探春摇之前她抽到签子上写道：《瑶池仙品》诗云：日边红杏倚云栽。注云：得此签者必得贵婿大家恭贺一杯再同饮一杯。这些话暗示着她后来远嫁之事。因而我们可以推测曹雪芹写这回时是先确定了每一轮的人选后再按照座次人物的顺序人为地确定摇出的点数。如果曹雪芹有一些概率分布的知识他就会合理安排人物的顺序而给出合理的点数即不使这样的小概率事件发生。由此我们的结论就是：曹雪芹不了解概率分布不太懂摇骰子中的概率理论。我们的这一理论一方面是根据统计逻辑推理另一方面也考虑到概率论发展历史。我们知道曹雪芹是世纪的人。他生于康熙年间卒于康熙盛世（？）。当时由于赌博而兴起的概率论研究在西方也才起步不久。世纪末至世纪初瑞士数学家J·贝努里写出一本重要的概率论著作《推测法》提出了或然性原理和贝努里大数定律。他的这本书是在他年死后由他的侄子N·贝努里于年整理出版的。继贝努里之后法国数学家德·莫依弗尔进一步研究了概率论的问题由二项式（pq）n推出了正态分布曲线这是年的事情。曹雪芹在世的年代还无记载说明中国当时已进行了概率研究。而我们所知道的是在世纪末至世纪初概率统计理论才从欧洲经日本传入我国。这样我们又从史实上证明了曹雪芹在当时没有具备掌握概率分布的客观条件故我们在前边的推测和结论应该说是有根据的。该例中由于实际摇骰子的次数（次）太少因而无法向孟德尔豌豆试验那样进行拟合优度X检验。但统计推理逻辑告诉我们小概率时间对大量实验观察来讲出现的次数是极少的对个别事件来说是不可能发生的我们就有理由对推理的前提质疑。我们这一推理的模式或者思想就是：A包含BB假A极不可靠其中B代表实际摇了八次的样本A表示四颗骰子点数的分布率或者摇骰子的随机试验。B假表示小概率事件不可能出现那么由B假推出A极不可靠即表明摇骰子的实验不是随机的。换句话说上述事件是曹雪芹主观想象的。这事儿不能怨曹雪芹虽然曹雪芹如果一边写《红楼梦》一边研究概率论其成果可能比马尔可夫早问世一百多年但中国的知识分子自命清高认为赌博是有辱斯文的事儿不可能向西方知识分子那样从中研究并创立什么概率论。那么只好借助于赌徒修改《红楼梦》了《红楼梦》第六十三回可作如下修改：贾环素日原本恨宝玉近日又见他与众姐妹吃酒作乐心中越发嫉妒无奈请教吃、喝、嫖、赌都占全的薛蟠薛蟠让贾环买通了林之孝家的在骰子上作了些手脚原本是为喝醉他几个人使夜宴败兴而散……笔者的这些修改文采远不及曹雪芹甚至不如高鹗但基本符合概率统计原理使其不出现逻辑的错误。统计与文学的这种结合已由个别上升到了一般。请看下一回：人文的基因艺术的巡礼。参考文献《统计推断思想》袁卫著年中国统计出版社《红楼梦》第六十三回曹雪芹著年人民文学出版社《世界统计名人传记》龚监尧著年中国统计出版社第七回人文的基因艺术的巡礼我们所能经历的最美好的事情是神秘事物它是所有真正艺术和科学的源泉。阿尔伯特·爱因斯坦古今中外人文社会科学没有一个非常明确的范围但大体上语言、文学、艺术、哲学、逻辑、历史、政治、经济、管理等可算为人文社会科学。其中哲学、逻辑、政治、经济、管理等学科与统计学的关系之密切是众所周知的。本回仅粗略谈谈统计学与语言文学之间的联系。在一些人眼中统计学与语言文学似乎在人类文明的两极。一个是理性思维一个是形象思维互不搭界。其实这是一种偏见统计学与语言文学之间不论从历史与现实考察还是从形式与内容来看都有着深刻的关联。数据是最简练的语言统计学和数学中的公理、定义、定理是最无歧义的语法。因而统计是语言文学所能达到的最高境界。早在世纪中期就有人提出用数量分析的方法研究语言现象了。年俄国数学家布涅雅可夫斯基提出了用概率论进行语法、词源和语言历史的比较研究。年瑞士语言学家索绪尔（）指出：“在基本性质方面语言中的量和量之间的关系可以用数学公式有规律地表达出来。”在上篇故事中我们也曾提到俄国数学家马尔可夫（）在对俄语言字母序列的研究中提出了马尔可夫随机过程理论促进了统计学与语言文学研究的结合。随着科学技术、商业贸易和外交活动的发展科技文献看到此处说明本文对你还是有帮助的，关于“统计学的故事”留言是大家的经验之谈相信也会对你有益，推荐继续阅读下面的相关内容，与本文相关度极高！
