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构造图形解题,它的应用十分广泛,特别是有些技巧性很强的题目,如果不能发现题目中所隐含的几何意义,而用通常的代数方法去思考,经常让我们手足无措,难以下手,这时,如果能转换思维,发现题目中隐含的几何条件,通过构造适合的几何图形,将会得到事半功倍的效果。
1.同学们,你们会用画多边形的对角线来解决生活中的数学问题吗?
比如,学校举办足球赛,共有5个班级的足球队参加比赛,每个队都要和其他各队比赛一场,根据积分排列名次.问学校一共要安排多少场比赛?
我们画出5个点,每个点各代表一个足球队,两个队之间比赛一场就用一条线段把它们连接起来.由于每个队都要与其他各队比赛一场,这样每个点与另外4个点都会有一条线段连接(如右图).
现在我们只要数一数五边形的边数和它的对角线条数就可以了.由图可知,五边形的边数和对角线条数都是5,所以学校一共要安排10场比赛.
同学们,请用类似的方法来解决下面的问题:
姣姣、林林、可可、飞飞、红红和娜娜六人参加一次会议,见面时他们相互握手问好.已知姣姣已握了5次手,林林已握了4次手,可可已握了3次手,飞飞已握了2次手,红红握手1次,请推算出娜娜目前已和哪几个人握了手.
【分析】先画出6个点,A、B、C、D、E、F各个点依次代表姣姣、林林、可可、飞飞、红红和娜娜,凡是两人之间握过手,就把代表他们的这两点用1条线段连接起来即可得到答案.
【解答】先画出6个点,A、B、C、D、E、F各个点依次代表姣姣、林林、可可、飞飞、红红和娜娜,凡是两人之间握过手,就把代表他们的这两点用1条线段连接起来(如图所示).
先看姣姣(A)和红红(E).姣姣已握手5次,说明姣姣与另外5人都握了手,因此代表姣姣的A点与B、C、D、E、F这5点都有一条线段连接;红红握手1次,他只能是与姣姣握的手了,所以E点只能与A点之间有线段连接,与其它各点再也不能有线段连接了.
其次分析林林(B).林林已握手4次,由于他没有可能与红红握过手,所以只能是与剩下的四个人姣姣、可可、飞飞和娜娜握过手了,因此,点B与A、C、D、F四点之间有线段连接.
再看飞飞(D).飞飞已握手2次,而代表飞飞的D点已与A、B两点有线段连接了,所以D点与其它的点不能再有线段连接了.
最后考察可可(C).可可与3人握了手,但已不能是与飞飞和红红握的手了,所以代表可可的点C只能与A、B、F三点有线段连接.
现在观察图形,与代表娜娜的点连接的线段有3条(AF、BF和CF),这说明姣姣、林林和可可三人已与娜娜握过手.
3.阅读:如图1,在△ABC和△DEF中,∠ABC=∠DEF=90°,AB=DE=a,BC=EF=b(a<b),B、C、D、E四点都在直线m上,点B与点D重合.
(2)用四个与△ABC全等的直角三角形纸板进行拼接,也能够借助图形证明上述不等式.请你画出一个示意图,并简要说明理由.
【分析】做这类题目时,结合图形来解答会降低题的难度.(1)连接AD、BF,构成同底的两个三角形,再利用两个三角形的边之间的关系,代入三角形的面积公式求解即可;
(2)答案不唯一,举例说明:根据直角三角形及矩形的面积公式求得面积后,再根据它们之间的数量关系来比较.
4.数学大师华罗庚说过:“数形结合百般好,数形分离万事难”,图形是研究数学的重要工具.
【解析】本题主要考查了图形的变化规律,学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力.对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化的.通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解.
方法总结:图形是数学研究的对象,也是数学思维和表达的工具。在解答数学问题时,如果用图形把题意表达出来,题中的数量关系就会具体而形象。图形可起到启发思维、支持思维、唤起记忆的作用,有利于尽快找到解题思路。有时,作出了图形,答案便在图形中。
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