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小学数学教师 / 2016.6 /〔片断描述〕师：这个纸盒从外面看，我们看到的是它的 — —生（众）：体积。师：那它的容积在哪里呢？生1：容积要往里面看的。师：假设把这个纸盒的壁从内部不断地加厚，想象一下，会发生什么变化？生2：容积变小了，甚至可能没有。师：容积变成0？为什么？生3：因为它内部容纳物体的空间没有了。生4：不变的是它的体积，因为从外表看还是那个纸盒。师：假设从外面把它的壁不断地加厚，前后又会有什么不同？生5：容积大小不变，体积在不断增大。师：那么，体积和容积一样吗？生6：容积需要从里面观察，体积需要从外面观察。生7：有些物体是有体积没有容积的，有些物体是既有体积也有容积的。生8：容积是特殊的体积，它们都和空间有关系。……从上述教学中不难看出，笔者仅仅以“容积和体积是否一样”为线索，展开了体积与容积两者关系的讨论。同时借助教具演示、空间想象、推理等学习方式，使学生逐步感知“有些物体是有体积没有容积的，有些物体是既有体积也有容积的” “容积需要从里面观察，体积需要从外面观察” “容积是特殊的体积”，等等。虽笔墨不多，却实现了学生思维认识由“表面”走向“深刻”。四、结论与思考当然，基于生本的课堂教学，除了教师的精心预设，教师对于课堂互动生成的机智把握也是一个重要的因素。总体来说，生本的课堂教学只有基于学生思维发展的需要，从学生已有的知识能力出发，依托数学任务驱动和丰富的资源支持，以开放的核心问题为引领，才可能促进课程标准所提倡的“四基”和“两能”的真正发展。参考文献[1] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[Z].北京：北京师范大学出版社，2012 .[2] 张奠宙.从体积的定义说起[J].小学教学（数学版），200811.[3] 张进. “生本”理念下的小学数学课堂教学改革探索[J]. 新课程学习中，20155.（浙江省杭州市学军小学）A4纸的故事— —“长方形、正方形的周长和面积的练习”磨课历程□ 施乐旺2015年10月，有幸在全国第十二届小学数学教学改革观摩交流会上执教人教版《数学》三年级下册“长方形、正方形的周长和面积的练习”，整节课以一张A4纸展开教学活动，深受孩子们的喜爱，也获得了与会专家和教师的肯定。然而，这节课的形成却经历四易其稿。缘起：练习课（复习课）只能“炒冷饭”？在日常的教学中，优秀生一听到练习课就烦：哎，又要重复做那些题目，没意思；学困生一听到09专辑Zhuanji/ 小学数学教师 / 2016.6练习课就怕：糟糕，那些题目我还是不太会。虽然学生的学习基础不同，但练习课按部就班一题一题地教学，学生先入为主地认为教师上练习课就像在“炒冷饭”。能不能改变练习课的呈现方式，以“新课”的面目出现？我将一节“长方形、正方形周长和面积”的练习课换之以“玩转A4纸”主题活动，引发了学生的好感。初稿：玩转A4纸一、复习导入1. 出示A4纸，复习长方形周长和面积的计算方法。（1）学生观察A4纸后，提出这张纸的周长和面积各是多少的问题。（2）学生解答问题，回顾长方形周长和面积的计算方法。2. 复习正方形周长和面积的计算方法。（1）在A4纸上折出一个最大的正方形。（2）计算正方形的周长和面积。二、再折推进1. 求出在A4纸上折一个最大正方形后剩下图形的周长和面积。2. 将A4纸进行对折，求对折后长方形的周长和面积。3.“折上折”，即将A4纸先横着对折再竖着对折，求所得长方形（原A4纸的四分之一）的周长和面积。三、剪拼升级1. 将刚才“折上折”后的A4纸展开，并剪掉其中一份，得到一个组合图形（原A4纸的四分之三），求它的周长和面积。2. 在A4纸的中上方剪去一个小长方形，求剩余部分的周长和面积。四、拓展作业将一张正方形纸与一张长方形纸进行创意组合，并求出所组图形的周长和面积。在得知要参加此次活动的消息后，我和团队成员决定选择上一节复习课或练习课。在以往的观摩活动中很难听到这两种课型，主要原因是数学知识点纵向联系紧密，借班教学时教学进度不易衔接。而我之所以选择这个课型，一方面是想将自己对这两种课型的教学思考借此机会求证方家，另一方面即使到时出现差错，也希望引起大家对复习课和练习课的讨论与思考，从中收获启迪。此时回顾初稿，我们发现了一些问题：其一，虽有看、折、剪、拼等不同的操作活动，但问题指向单一（只是在求图形的周长和面积），是一种变相的重复训练；其二，这节课虽然好玩，学生也能很好地解决长方形、正方形周长和面积的相关问题，但积累基本数学活动经验和渗透基本数学思想不足。由此反思，我们开始重10小学数学教师 / 2016.6 /新备课，打磨出如下两个教学预案。二稿：有问题的A4纸一、复习导入1. 出示A4纸，复习长方形周长和面积的计算方法。2. 在A4纸上折出一个最大的正方形，复习正方形周长和面积的计算方法。3. 求出在长方形白纸上折一个最大正方形后剩下图形的周长和面积。4. 比较这三个图形的周长和面积，你发现了什么？预设：周长越短，面积越小。二、再折升级1. 对折。（1）预设：左右对折；上下对折。（2）折出来的两个长方形形状不同，周长和面积各是多少？（3）观察、比较发现：面积相等的长方形，周长不一定相等。2. “折上折”。将A4纸先横着对折再竖着对折，所得长方形（下左图）的周长和面积各是多少？3. 将刚才“折上折”后的A4纸展开，并剪掉其中一份，得到一个组合图形（上右图）。（1）求它的周长和面积。（2）观察、比较发现：周长相等的图形，面积不一定相等。三、自主探究1. 猜想：长方形的周长和面积有怎样的关系？2. 制订方案，展开合作探究。3. 汇报交流。周长100cm，长49cm，宽1cm，面积49cm 2 。周长100cm，长40cm，宽10cm，面积400cm 2 。周长100cm，长35cm，宽15cm，面积525cm 2 。周长100cm，长25cm，宽25cm，面积625cm 2 。……4. 得出结论：长方形的长和宽的长度越接近，面积越大。四、总结延伸1. 总结课堂收获。2. 延伸：周长相等的平面图形，谁围成的面积最大？第二稿以两条主线贯穿课堂始终：其一是仍然在折、剪、拼中运用长方形和正方形周长与面积的知识解决问题，其二是在解决问题的同时比较分析不同图形的周长和面积存在怎样的关系。学生一开始坚信“周长越短，面积越小”，对折后发现“面积相等的两个长方形，周长不一定相等”与“周长相等的两个长方形，面积不一定相等”，开始动摇并质疑前面的发现，从而激发探究的欲望，通过猜想、验证，最后获得新的发现，提升认知，积累数学活动经验。三稿：由A4纸想到……一、复习旧知1. 出示A4纸，揭题导入。2. 结合A4纸，厘清周长和面积的概念。3. 计算A4纸的周长和面积。4. 在A4纸上折出最大的正方形，计算正方形的周长和面积。5. 整理长方形、正方形的周长和面积的计算公式。二、温故知新1. 你能折出这张A4纸的一半吗？预设：（1）左右对折；（2）上下对折；（3）沿着对角线折。2. 折出来的三个图形形状不同，周长和面积各是多少平方厘米？3. 观察比较，梳理发现：面积相等的长方形，周长不一定相等。三、发散思维（解题策略的多样性）1. 在长30cm、宽20cm的长方形右上角剪去一个长15cm、宽10cm的小长方形，得到“台阶形”。（1）新图形的周长是多少厘米？11专辑Zhuanji/ 小学数学教师 / 2016.6方法一：30+10+15+10+15+20=100（厘米）方法二： （30+20）×2=100（厘米）（2）新图形的面积是多少平方厘米？方法一：30×20 15×10=450（平方厘米）方法二：30×10+15×10=450（平方厘米）方法三：20×15+15×10=450（平方厘米）2. 将A4纸剪成“凹”字形，求“凹”的周长和面积。3. 将A4纸剪成“凸”字形，求“凸”的周长和面积。四、拓展延伸，创新思维1. 出示生活中运用长方形、正方形周长与面积解决问题的案例。2. 再看看大家制作的姓名牌，你们知道做一张这样的名牌要多少平方厘米的纸吗？3. A4纸还可以（卷起来）变成圆柱体，做一个这样的圆柱体要用多少平方厘米的纸呢？4. 4张A4纸和2张正方形纸可以拼成一个长方体。做一个这样的长方体要用多少平方厘米的纸呢？五、反思收获如果说第二稿是十步一景，希望孩子们充分看透“周长和面积”，形成空间观念，积累数学活动经验，那么第三稿则是一步一景：在求周长时教师故意犯错，鼓励学生质疑；在求“台阶形”的周长和面积时，学生通过平移、切割、添补的方法将不规则图形转化成已知的长方形和正方形，渗透转化思想，发展学生的发散思维；最后由A4纸变成学生名牌、圆柱体、长方体，由面到体，既是转化思想的延续，也是对创新精神的培育，更为之后学生学习立体图形的表面积建立联系，是二维到三维空间观念的进一步纵深。实践反思：回归初心，培育学生的数学素养随着二、三稿的试讲和团队研讨，我们又发现了新的问题。1. 同伴们认为第二稿缺少生活气息，缺乏趣味性，除了部分喜欢挑战的学生能参与探究，基础较弱的学生可能会跟不上节奏，产生思维混乱。2. 第三稿的课堂延伸问题泛滥，三角形的面积怎么求，组合图形面积还可以怎么求，周长为100厘米的平面图形什么情况下面积最大，立体图形的侧面积或表面积怎么求……课堂留下的问题太多，形成“超限效应”。3. 正方形元素较少，虽然正方形是特殊的长方形，但对学生来说是初次接触，还是要巩固对正方形的认知。所以，在求“台阶形”图形（包括“凹”和“凸”）的周长和面积时，宜将原来的长方形剪去一个小长方形改为剪去一个边长为10厘米的正方形。4. 由面到体， “剧透”太多，过分包办。研讨后进行了两点改进，一是化教师变为学生变，学生成为“魔术师”，促使学生参与更积极、思考过程更丰富；二是化教师问为学生问，由原本只有一个问题做一个这样的长方体至少要多少平方厘米的纸）改为学生自由展开，问题更开放，学生思维发展和创新的可能也就更多。经过实践、反思，第四稿成型。四稿：长方形、正方形的周长和面积的练习一、观察联想，唤醒认知1. 出示一张A4纸，由学生观察并提出问题。（1）预设：这是一张长方形白纸。这张A4纸的长是多少厘米？宽是多少厘米？周长是多少厘米？面积是多少平方厘米？（2）出示A4纸长与宽的长度数据，让学生计算A4纸的周长和面积。2.（1）看到长方形，你会想到什么图形，为什么？（2）在这张A4纸上折出一个最大的正方形，你有什么方法？（3）这个正方形的周长和面积各是多少？3. 梳理回顾长方形、正方形周长和面积的计算方法。二、质疑研究，温故知新1. 刚才通过折的方法从A4纸上获得了一个正方形，我们再来对折看一看还能折出什么图形。12小学数学教师 / 2016.6 /（1）学生独立想象、思考，展示折法。（2）观察、思考和分析：这个长方形的形状不相同，面积大小怎么样？（3）教师猜测“对折后的这两个长方形周长也相等”，学生质疑、讨论、验证。2. 学生思考制订研究方案，举例说明“周长相等的长方形，面积不一定相等”。3. 追问：观察我们刚才举的这些例子，还有什么新的发现？三、几何应用，发散思维1. 接下来，我们给这张A4纸动个小“手术”，在它的右上角减去一个边长为10cm的正方形（课件演示），这个图形你们认识吗？它的周长和面积你会求吗？咱们来个“解题策略大比拼”。（1）学生观察这个图形的特征,给图形取“小名”（台阶形）。（2）求这个图形的周长。（3）求这个图形的面积，鼓励算法多样化。（4）与原A4纸比较，发现：周长相等，面积不一定相等。2. 课件演示将“台阶形”右上角的正方形慢慢往左推变成“凹”字形。（1）计算每次移动后图形的周长和面积。（2）比较观察“台阶形”和“凹”字形的周长和面积，发现：面积相等，周长不一定相等。3. 课件演示“凹”变成“凸”。教师解说：这下“凸”可高兴了，它对着“凹”得意地大笑， “哈哈哈……这下好了，我不仅面积比你大，周长也比你长。”（1）“凸”说对了吗？（2）巧算“凸”的面积。四、拓展延伸，创新思维1. 激趣：（请学生当“魔术师”）A4纸还可以怎么变呢？2. 根据变出的形状让学生自主提出问题。五、反思收获，全课总结。反观这节课，我愿看作是一节以自主探究、合作生成为特色的新常态课堂。首先，回归初心。一直想改变学生对数学枯燥的感受，怎样让学生在这样素材单一的练习课中仍旧保持兴趣呢？一是教师“揣着明白装糊涂”，与其苦口婆心地说教，不如故意以身犯错掉进“陷阱”，让学生自辨是非前来“搭救”，深化学生对知识的理解，同时成就学生的自信。二是童化素材，在将“台阶形”变为“凹”再变为“凸”的过程中，把比较“凹”和“凸”周长与面积的判断题变为一场童话故事般的探索，数学课变得好玩起来，学生在笑声中完成探究，不亦乐乎？三是教师退居幕后，把主角的舞台还给学生。 “周长相等的长方形，面积不一定相等？你们自己的猜想，你们自己想办法验证” “台阶形的面积怎么求，你刀工了得，你来”“A4 纸还可以怎么变，你是‘魔术师’，你来”……其次，回归本质。这节课从表面上看是巩固学生对长方形、正方形周长和面积的理解应用，实则重点是发展学生的空间观念。整节课以A4纸为载体，不再紧扣周长和面积的定义，而是在A4纸的变与不变中避免形式化（套用公式）的计算，使学生对周长和面积的理解得以自我辩证、内化，实现由一维到二维空间认识的飞跃。其间，学生数据分析观念的提升，猜想验证经验的累积，转化思想的渗透……都在助力学生数学素养的发展。磨课如琢玉。感谢这次活动，感谢一起磨课的同仁，让我收获了成长，向着理想的教育又近了一步！（江西省上饶市广丰区商城小学）13
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