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这一章中，给我印象最深刻的是费曼用数值解法解出动力学方程，画出了行星运动的轨迹。
在理论力学中，专门有一节讲一个质点在有心力场的作用下。印象中，那一节的推导非常抽象，只觉得像变魔术一样进行一些令人不知所措的数学变换，bang，轨道方程就变出来了。结论是行星会做双曲线，椭圆，圆的轨道运动，具体是哪种运动轨迹取决于系统的初始条件。
但在这一节讲义中，通过用计算机模拟的技术，这些轨迹只需要很简单的动力学方程，就可以让计算机帮我们画出来，干得漂亮！
9-4 什么是力
这一节推导出了物理学中非常重要的谐振子方程（令k/m=1）
谐振子的运动轨迹是三角函数（sin 或者cos），它的周期是
从这个公式可以知道，如果在太空中，想要测出一个物体的质量。用一个已知弹性模量的弹簧就可以，你可以先测出其振动的周期，然后据上面的公式可以求出来。
9-7 行星的运动
如果忽略其他行星的影响，只考虑太阳对它的引力作用，那么行星的受力很简单，如下图所示：
那么作用在行星x轴和y轴上的力是如下：
注意，因为求的是x轴和y轴上的分力，所以是 r的三次方。
然后，在这个例子中，费曼取的初始条件是行星从x轴上的0.500处出发，速度竖直向上是1.630，取GM=1。
然后，费曼就可以用力学公式和计算机（甚至计算器）一步一步的计算行星的轨迹了，他给出了一张计算的表。然后，把表上的数据画成了一副图。
可以看到，是个椭圆。
也许有同学会问了，为什么不是个圆？答案在于行星系统的初始条件，如果开始运动的时候，正好行星的动能等于势能绝对值的一半，即初始速度等于1.414（根号2，因为r=0.5，令GM=1），那么轨道才可能是圆。如果动能并非那么完美的比例，比这个值大一点，那么就是椭圆（如本例子），或者更大一些，是双曲线。
看吧，牛顿力学定律甚至否定了“天使”所营造的行星运动的完美。
下次上大学物理课，特别给数学系的同学讲这章时，一定会讲这种数值解法。如果你感兴趣，不妨用Mathematic软件，或者自己编程，或者用计算器自己算一下。再改变一下初始条件试一下，你对太阳系内行星运动轨迹的理解肯定会加深。
讲义的最后是想用数值解法解出一般三体运动的轨迹，但只是在理论上给出了公式，没有实际出解这个方程。实际上，这个方程是解不出来的。法国大数学家庞加莱花了数年时间企图解决三体问题，以失败而告终。因为他发现，因为这些数值解，极度依赖于初始条件，以至于很小的变化就造成很大的改变。但计算机的存储能力和计算能力都是有限的，所以长期的轨迹预测必定失败。这其实就是混沌系统的特点。
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