好的数学：方程的故事

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前言

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前言

“要做好的数学”。这是已故华裔美籍数学大师陈省身先生对投身数学研究的中国数学家的寄语。

作为对陈省身先生寄语的回应，摆在数学科普工作者面前特别重要又必要的课题是：向众多的数学爱好者讲述好的数学。通过这种影响面更广的介绍与宣传，可以使喜欢数学的年轻人从小就能明白“有好的数学和不好的数学之分”的道理，能“从年轻时就懂得欣赏好的数学”。

那么什么是好的数学呢？只有那些有深远意义，可以不断深入，有发展前途，可以影响许多学科的数学才是“好的数学”。在陈省身看来，“解方程就是”“像方程这样的数学思想，其价值是永恒的、不断发展的，所以说它是好的数学”。

英国著名数学家阿蒂亚也指出：“大部分数学的中心问题围绕着解方程。”“数学家研究的是什么呢？答案应该不会使任何人感到惊讶——他研究的是方程。首先，在最低层次上，是代数方程；然后，在较高水平上是微分方程。这个极度的简化至少有容易被理解的优点。”

确实，方程可谓贯穿数学历史的一条明显的红线。在很古老的时代，东西方数学家便开始了解方程的历程。最初人们研究的是代数方程，而后是超越方程（指数方程、对数方程、三角方程、反三角方程等）。在微积分创建后，又相应地出现了微分方程、积分方程。

在这本书中我们所要做的就是沿着这条线作一番漫游。不过，我们的触角不会伸得太长。我们将主要涉及“低层次”上的方程，并分三编做较详细的介绍。

在第一编，我们介绍多项式方程求解的历史。我们的着重点放在根式解问题上。通过对此的介绍，我们将看到代数学是如何随着这一问题的研究一步一步发展起来的。而我们还将看到正是问题的最终解决，又将代数学引向了新的方向。另外，我们还要介绍中国古代在求多项式方程数值解方面作出的重要而杰出的贡献。

在第二编，我们介绍线性方程组求解的历史。通过这编介绍，读者可以了解行列式、矩阵等高等代数内容是如何随着线性方程组的求解发展起来的。

在第三编，我们介绍不定方程的求解历史。对不定方程这一涵盖面极广的话题，我们将在对其概述的基础上，详细介绍比较简单的一次不定方程与佩尔方程，以及中国古代对著名的孙子问题的研究。最后，我们将介绍与不定方程研究问题相关的希尔伯特第十问题由提出到彻底解决的简要历程。

通过这一漫游，读者不仅能对代数方程、线性方程组、几类不定方程求解的历史获得一个比较清晰的认识，而且可以明白方程问题确实极大地推动并丰富了数学。正是沿着这一红线进行的探索，数论、初等代数、高等代数得以发展，而抽象代数也得以产生。

通过对方程故事的讲述，读者应能深切体会到陈省身先生“解方程是好的数学”这一断语的深层意味。而通过对这一好的数学的典型例证的详细介绍，我们亦希望能增强读者对好的数学的鉴赏力。

本书在对方程求解历史的介绍中，较多地引用了数学史的资料。希望通过这方面的介绍，能开阔读者的眼界，提高读者的兴趣，帮助读者对数学发展的原貌有更清楚的了解，从而消除关于数学的一些错误想法，更全面、更深入地认识数学。

因此，阅读本书，读者不仅可对重要的方程求解问题有所认识，从中领略它们的魅力，而且可深切体会并可从更多侧面了解“数学家是什么样的人”，同时还可对许多重要的数学思想与数学方法有更透彻地认识——这一切都可以增进读者对“数学是什么”的更深理解。

本书是一本数学科普读物，可供广大师生及其他数学爱好者阅读。

本书在写作过程中参考了大量的数学书籍（书后附有主要的参考文献），谨向这些书的作者和译者表示真诚的谢意。另外，本书在写作过程中还参考了部分网上相关资料，在此谨向这些网文作者或所有者表示感谢，对无法一一注明参考网文的来源还请见谅。

最后需要说明的是，书中不足或错误在所难免，我真诚期望能得到读者朋友的指正。如果您有什么意见或建议，可以通过我的电子信箱zhhxt@163.com与我联系。

韩雪涛

2011年9月

目录

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版权信息

前言

第一编 多项式方程

第一章 多项式方程的根式解

第一节 河谷文明与多项式方程

第二节 两位代数学之父

第三节 16世纪最壮观的数学成就

第四节 另两位代数学之父

第五节 两颗璀璨的数学流星

第二章 从开平方术到正负开方术

第一节 从《九章算术》到《缉古算经》

第二节 从贾宪三角到正负开方术

第二编 线性方程组

第一章 行列式

第一节 行列式与克莱姆法则

第二节 行列式的历史

第二章 矩 阵

第一节 线性方程组与矩阵

第二节 现代矩阵观念与矩阵代数

第三编 不定方程

第一章 不定方程概述

第二章 百鸡问题与一次不定方程

第一节 百鸡问题

第二节 二元一次不定方程

第三章 从“物不知数”到“中国剩余定理”

第一节 从物不知数到大衍术

第二节 数学之王与同余论

第四章 佩尔方程的奇异王国

第一节 阿基米得群牛问题

第二节 婆罗摩笈多—婆什迦罗法则

第五章 希尔伯特第十问题

参考文献

编辑推荐

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一个数学家应当了解什么是好的数学，什么是不好的数学的或不太好的数学……那么什么是好的数学呢？比如解方程就是。像方程这样的数学思想，其价值是永恒的、不断发展的，

所以说它是好的数学。一美一陈省身

作者简介

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精彩书摘

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历史学家往往把兴起于古埃及、美索不达米亚、古中国和古印度等地域的古代文明称为“河谷文明”，而早期数学就是在尼罗河、底格里斯河与幼发拉底河、黄河与长江、印度河与恒河等河谷地带首先发展起来的。从可考证的史料看，古埃及与美索不达米亚的数学在年代上更为久远，只是在公元前均告衰微，崛起稍晚的古中国与古印度数学则延续到公元之后并在中世纪臻于高潮。

在这一节中我们将简单介绍古埃及与美索不达米亚这两个河谷文明在求解多项式方程方面取得的成就，对古中国和古印度这方面的贡献将放在第二节中做介绍。

人们对古埃及数学知识水平的了解主要来自幸存至今的两部纸草书。一部叫莱茵德纸草书。这一纸草书因1858年为苏格兰收藏家莱茵德收藏而得名。它是由公元前1650年左右一位名叫阿姆士（A′hmose）的人抄录的。书的开头写道：“准确的计算。阐明一切黑暗的、秘密的存在事物的指南”。后世就以此作为书名。根据书的前言还知道，阿姆士并非书的原著者，其实他抄录的是一部已经流传了两个多世纪的更古老的著作。但为纪念抄录者，这一纸草书也称阿姆士纸草书。

另一部称为莫斯科纸草书，1893年它为俄罗斯收藏者获得，1912年转为莫斯科博物馆所有，并因之得名。据研究，它出自约公元前1890年一位佚名作者之手。

这两部纸草书是古埃及最重要的传世数学文献。它们都是各种类型的数学问题集。莱茵德纸草书主体部分由84个问题组成，莫斯科纸草书则包括了25个问题。在这些问题中，有些可以归之为今天所说的代数方程的范畴。我们剖析其中一个简单例子来看一下。

上图是莱茵德纸草书第24题的僧侣文原文，第一个字如下图所示

读音类似“阿哈”（aha）或“呵”（hau），意思是“一堆”，相当于方程中的未知数。整个题目可意译为：已知“堆”与七分之一“堆”相加为19，求“堆”的值。

古埃及人对此问题的解法比较有趣。他们先把7作为未知数的实验值，代入得数8，但应得结果是19，这两个结果之比是 。于是将7乘 即得出正确的答案。

莱茵德纸草书第26个问题也使用了这种技巧。这个问题可意译为：求一未知数，它与自身 相加结果为15。纸草书中的解法如下：假设答数为4，那么4加4的 为5……找一个乘5能得到15的数，答案是3。用4乘3，答案是12。

这种解法被称为“假位法”，实质上它是一种算术方法：先假设一个特殊的数作为“堆”值，将其代入等号左边去运算，然后比较得数与应得结果，再通过比例方法确定未知数的真值。

对此，著名数学史家史密斯曾评述说：“世界竟曾经为形如ax+b=0的方程所困惑过，这似乎是不可思议的，但是古代数学家为解这种方程，却确实曾求助于一种比较烦琐的方法，这种方法后来在欧洲称为‘假位法’”。这种假位法是莱茵德纸草书中普遍使用的方法。因其过程采用了一次假设，故也叫“单假设法”。

不过，有时埃及纸草书中也使用我们现代的方法来求解一次方程。例如，莫斯科纸草书中有一个例子是：求一个数，它的 倍加上4等于10。用现代的记号表示，即 ，其解法是：首先由10减去4得6，然后将6乘以 ，得解为4。

媒体评论

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一个数学家应当了解什么是好的数学，什么是不好的数学的或不太好的数学……那么什么是好的数学呢？比如解方程就是。

像方程这样的数学思想，其价值是永恒的、不断发展的，所以说它是好的数学。

——羹陈省身

正如太阳以其自身的光辉致使其他星球黯然失色那样，一个有知识的人，如果他能提出代数问题，则就会声誉超群，如果他还能解决代数问题，则将声名赫赫。

可以在一年内计算出一个数的平方乘以92再加1恰好等于一个平方数的人便可称为数学家。

——古印度波罗摩笈多

数学家研究的是什么呢？答案应该不会使任何人感到惊讶——他研究的是方程。

大部分数学的中心问题围绕着解方程。在初等水平上我们有代数方程，再进一层我们有微分方程。数学家研究这些方程企图获取尽可能多的关于解的信息。

——英阿蒂亚

要全然了解而且享受数学，我们必须重视方程式。数学讨论的是关系，许多数学关系必须以符号代数作为语言，才能清楚表达；想了解数学但不使用方程式，犹如想了解伟大的艺术而不看画是不可能的！要解决这个困难，方法很简单。我们必须像看伟大艺术品一般看待方程式，我们得研究它，然后才能进一步了解和欣赏。有很多方程式看似十分简单，内涵却是很深邃的；其余的则足复杂又漂亮，分析起来特别有趣，提供视觉上的飧宴及心智上的激励。

——美卡尔文·亮劳森

内容简介

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阅读《好的数学：方程的故事》，读者不仅可对重要的方程求解问题有所认识，从中领略它们的魅力，而且可深切体会并可从更多侧面了解“数学家是什么样的人”，同时还可对许多重要的数学思想与数学方法有更透彻地认识——这一切都可以增进读者对“数学是什么”的更深理解。

《好的数学：方程的故事》是一本数学科普读物，可供广大师生及其他数学爱好者阅读。

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