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本人承诺：所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果。论文中除特别加以标注和致谢的地方外，不包含他人和其他机构已经撰写或发表过的研究成果，其他同志的研究成果对本 人的启示和所提供的帮助，均已在论文中做了明确的声明并表示谢意。 学位论文作者签名： 学位论文版权的使用授权书本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定，及学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交复印件或磁盘，允许论文被查阅和借阅。本文授权 辽宁师范大学，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库并进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文，并且本人电子文档的内容和纸质 论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后使用本授权书。 学位论文作者签名：！垂猃塑 指导教师签名：曼盏坠 签名Ｉｔ期： 才的培养。数学教育作为培养人的思维能力的过程，完全不像世俗之见那么贫乏和枯燥，而是多彩且充满活力的。对数学家成长经历进行理论分析，有助于我们更好的了解培养 数学人才的必要因素和掌握培养人才的规律，从而为数学教师发现人才培养人才提供科 学的理论依据。 本文采用数学家文献研究方法，综合大量的文献，探讨理论间的融合，从而得到本 研究主题的理论依据。从数学家成长经历入手分析，主要在以下四方面进行研究：数学 家成长经历的分类，数学家成长经历的主要因素，数学家的思维方式的形成和数学人才 培养可以借鉴的因素。 本文在数学家传记的理论基础之上，结合数学家成长经历，从数学史、数学心理、 数学教育和数学教学对数学人才的形成过程进行分析，结合数学教学现状，给出数学家 成长经历对数学人才培养的启示。基于人才培养，从学生、教师等方面进行客观分析， 最后给出几点对数学人才培养的启示。 关键词：数学家成长经历 数学家思维能力 数学人才 ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｔａｌｅｎｔ ｃｕｌｔｉｖａｔｉｎｇ ｆａｃｔｏｒｓ ｎｅｃｅｓｓａｒｙ ｃｕｌｔｉｖａｔｉｎｇｔａｌｅｎｔｓ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓｔｅａｃｈｅｒ ｆｏｕｎｄ ｔａｌｅｎｔ ｃｕｌｔｉｖａｔｉｏｎ ｔａｌｅｎｔ ｐｒｏｖｉｄｅ ｓｃｉｅｎｔｉｆｉｃ ｔｈｅｏｒｙ． Ｔ１１ｉＳ ｐａｐｅｒ ａｄｏｐｔｓ １ｉｔｅｒａｔｕｒｅ ｒｅｓｅａｒｃｈ ｍｅｔｈｏｄ，ｆｒｏｍ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｉａｎｓ，ａｎａｌｙｚｅｓ ｇｒｏｗｔｈ ｅｘｐｅｒｉｅｎｃｅ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｉａｎｓ．Ｂａｓｉｃａｌｌｙｈａｓ ｆｏｕｒ ｓｏｒｔｓ ｃｏｎｔｅｎｔｒｅｌａｔｅｄ ｒｅｓｅａｒｃｈｅｓ ｃｏｍｂ．Ｃｏｍｐｒｅｈｅｎｓｉｖｅ ｅｘｔｅｎｓｉｖｅ ｌｉｔｅｒａｔｕｒｅ，ｄｉｓｃｕｓｓｅｓ ｆｕｓｉｏｎｂｅｔｗｅｅｎ，ｔｈｅｒｅｂｙ ｇｅｔ ｒｅｓｅａｒｃｈｔｏｐｉｃｓ ｔｈｅｏｒｙ ｂａｓｉｓ．Ｔｈｅｓｅ ｆｏｕｒ ａｓｐｅｃｔｓ ｃｏｎｔｅｎｔ．ｉＳｍａｔｈｅｍａｔｉｃｉａｎ ｇｒｏｗｉｎｇ ｅｘｐｅｒｉｅｎｃｅ ｃｌａｓｓｉｆｉｃａｔｉｏｎ，ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｉａｎｓ ｇｒｏｗｉｎｇ ｅｘｐｅｒｉｅｎｃｅ， ｍａｊｏｒ ｆａｃｔｏｒｓ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｉａｎ ｗａｙ ｔｈｉｎｋｉｎｇｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｔａｌｅｎｔ ｃｕｌｔｉｖａｔｉｏｎ Ｃａｎ ｕｓｅ ｆａｃｔｏｒ． Ｉｎ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｉａｎｓｂｉｏｇｒａｐｈｙ，ｃｏｍｂｉｎｉｎｇ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｉａｎ ｇｒｏｗｉｎｇ ｅｘｐｅｒｉｅｎｃｅ，ｆｒｏｍ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓｅｄｕｃａｔｉｏｎ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓｔｅａｃｈｉｎｇ ｆｏｒｍａｔｉｏｎｐｒｏｃｅｓｓ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｔａｌｅｎｔ ａｎａｌｙｚｅｄ．Ｗｉｔｌｌｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ ａｎａｌｙｓｉｓ，ｔｅａｃｈｉｎｇ ｓｉｔｕａｔｉｏｎ，ｏｆ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｉａｎｇｒｏｗｉｎｇ ｅｘｐｅｒｉｅｎｃｅ ｔａｌｅｎｔｔｒａｉｎｉｎｇ，ｒｅｖｅｌａｔｉｏｎ．Ｂａｓｅｄ ｔａｌｅｎｔｓ，ｓｔｕｄｅｎｔｓ，ｔｅａｃｈｅｒｓ，ｅｔｃｆｒｏｍ ｏｂｊｅｃｔｉｖｅ ａｎａｌｙｓｉｓ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ａｎｄｆｉｎａｌｌｙ ｇｉｖｅｓ ｓｏｍｅ ｉｍｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ｔａｌｅｎｔｓｃｕｌｔｉｖａｔｉｏｎ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｉａｎ ｇｒｏｗｔｈ ｅｘｐｅｒｉｅｎｃｅ，ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｉａｎｓ ｔｈｉｎｋｉｎｇ ａｂｉｌｉｔｙ，ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ｔａｌｅｎｔｓ １．３研究方法……………………………………………………………………………………５２数学家的成长的典型例子和分类……………………………６ ２．１数学家的界定……………………………………………………………………………．６ ２．２数学家成长经历的特殊作用……………………………………………………………．７ ２．３数学家成长经历的分类…………………………………………………………………．．８ ２．３．１数学天才…………………………＿……………………………………………………８ ２．３．２大器晚成………………………………………………………………………………．１ ０２．３．３自学成才的数学家………………：……………………………………………………ｌ １３数学家成长经历的主要因素分析…………．……．…………１ ２３．１客观因素…………………………………………………………………………………１２ ３．２主观因素…………………………………………………………………………………．１５ ４数学家思维方式的形成…………．………．…．……．…．．１ ５４．１思维…………………………………………………………………………………………………………………。１ ６４．２数学与思维………………………………………………………………………………１６ ４．２．１数学与直觉思维………………………………………………………………………１ ６４．２．２数学与逻辑思维………………………………………………………………………．１ ７４．２．３数学与抽象思维………………………………………………………………………．１ ７４．２．４数学与形象思维…………………………………………………………………………１８ ４．３数学家的思维方式………………………………………………………………………１ ９４．３．１形式逻辑层面的理解…………………………………………………………………．１９ ４．３．２发现层面的理解………………………………………………………………………２０ ４．３．３直观一具体层面的理解………………………………………………………………．２０ ４．３．４直觉层面的理解………………………………………………………………………．２１ 数学家成长经历与数学人才培养 ５数学家榜样的激励作用分析………．．．．…………．．……．．２２ ５．１了解数学家成长经历让教师和学生更好的理解数学…………………………………２２ ５．２利用数学家的成长经历培养学生树立正确的人生观、价值观………………………２２ ６数学人才的培养…．…．．．．……．．．……………．．……．．２２ ６．１培养数学人才可以借鉴的因素…………………………………………………………．２３ ６．１．１内部自身因素…………………………………………………………………………．．２３ ６．１．２外部环境因素……………………………………………………………………………２３ ６．２数学家成长经历与中学数学教学相关…………………………………………………２５ ７数学家成长经历对数学人才培养的思考与启示．………．．……．．２７ ７．１在数学教育中有意培养学生的数学观念………………………………………………２８ ７．２在数学教育中培养学生的创新能力……………………………………………………．２８ ７．３通才教育…………………………………………………………………………………２９ ７．４对教师提出了更高的要求………………………………………………………………２９ 结束语……………………………．…………………３１ 参考文献…．………………．…．．…．．．…．………．．．．．．３２ 致谢……………………………………… ……．．３３ 为数学历史增添了浓浓的色彩。通过了解数学家的成长经历，体会他们的思想、方法和对 学习数学的感受，让学生知道为什么学习数学，从而激发学生学习数学的兴趣，达到数 学教学的效果。在数学教育基础上提倡学生了解数学家的成长经历和数学成就，让社会 重视数学教育，为如何培养数学人才提供启示。 现在，已有很多研究都是从数学家传记角度展开，但关于数学家成长经历的专门研 究并不是很多。本文选择数学家成长经历作为研究课题是想突出数学家的成长经历在数 学家传记中的重要作用。 本文从数学家成长经历入手对其分类，进而分析数学家的思维方式，从而总结出成 为数学人才的必要因素。 （２）论文的研究背景 现在国内，现在很多国内的数学家都在研究数学史、数学文化等有关的内容来吸引 广大的数学爱好者学习数学，进而达到培养数学人才的目的。数学家的成长经历在数学 家传记当中占有很重要的一部分，可以说数学家传记是由数学家成经历构成的。对于学 生来说，抽象的数学很难引起学生的兴趣。但是，通过对数学家成长的了解和认识，能 激发学生的学习数学的兴趣。因此，数学家成长经历对数学和学生学习数学有很重要的 影响。从古希腊至今，分析数学家的成长经历的重要因素和规律，为数学人才培养提供 途径。 本文就是通过数学家成长经历的分析入手，提出数学人才培养的策略。通过本课题 的的研究，希望为学生能更好的学习数学有所帮助。 １．１．２论文的理论意义和现实意义 （１）论文的理论意义 同，但都是受某一方面的影响而成为专业人士，进而成为这方面人才的。 （２）论文的现实意义 我国曾经是一个数学大国，但是由于历史的原因，现代中国数学已远远落后于日本 和西方国家。中国数学家数量不太，但质量不尽如人意，主要表现在创新不够。创新是 民族的灵魂，创新是科学的根本，创新更是数学的本性。实现我国成为数学大国之梦， 只能从培养能够创新的年轻一代的数学人才开始。现在的中国青少年的学力下降，其中 学力不是指学习知识的多少，而是能够自己独立思考事物的能力。日本数学家小平邦彦 说过：“没有创造力的教育是危险的”。ｎ’反观中国的教育，就是缺乏创新。这就给中 国的教师带来一大考验。要想培养出现代的数学人才，教师本身也要投入极大的热情。 不仅自己的研究要有创新，教学也要有创新，这样教出来的学生才具有创新能力。 １．２文献综述 国内研究现状 （１）从数学史角度 数学历经几千年，现已渗透到现实生活的各个领域。在这发展中涌现出数学大师对 数学进程方面起了决定性的作用。可以说，今天的数学的繁荣得益于大师们的辛勤劳作。 国内有很多的数学家都在致力于研究数学家传记，在不同数学家传记的著作当中， 根据不同的标准，收录的数学家的数量也不尽相同。 数学家吴文俊主编的《世界著名数学家传记》（上、下集）收入古今中外的数学家 １５３篇，梁宗巨先生的著作《数学家传略辞典》收集了２２００人，邓宗琦的著作《数学家 辞典》收录了３０００人‘２１。作者在深入研究的基础上，对数学家的生平、学术活动、主 要贡献和代表作，予以全面、具体、准确地记述。从中可以了解到一流数学家的杰出成 就和对科学发展的重大影响，而且可以看出他们的成长道路、成功经验和思想品格，从 而深受启迪ｎ１。———＼ 数学家成长经历与数学人才培养 这些书所介绍的都是数学领域的奠基者或集大成者，在确定数学进程方面起了决定 性作用。这本书所收集的数学家传记对数学工作者、数学教师特别是有志于数学事业的 青年学生，都有重要的参考价值。 缺点是对数学教育来说是上述的著作中多是数学家的创造的成果，缺少怎样成为数 学人才的过程。 （２）从数学教育角度 徐利治教授等在１９８９年５月设计的ＭＭ教育方式，也叫ＭＭ实验，也就是运用数 学本身的思想方法指导数学教学和数学教学改革的一种数学教育方式。在教学过程中充 分发挥数学的科学技术功能和它的文化教育功能。自觉地运用八个变量，其中一个变量 Ｉ就是数学家的优秀品质和数学史志教育。在ＭＭ实验中，随着实验教师对ＭＭ的可控 变量的操作水平的不断提高，认识的不断加深，使得操作表中的所蕴含的教学原则和教 学理念在数学教学中得以实现。而且在实验当中总结出６条原则，其中有一条是数学家 学习机制激励原则：紧密联系教材实际介绍一些大数学家勤奋努力、不畏艰难的工作精 神，一丝不苟严肃认真的科学态度等，有助于基础教育阶段的中学生的科学世界观的初 步形成和优良的非智力品质的培养“１。 ＭＭ实验实施起来，能有利于提高学生的一般科学素养，增进社会文化修养，形成 和发扬数学品质，从而全面提高学生素质。 但是就中国社会教育现状，ＭＭ实验还没有普及开。由于人才结构调配机制，很多 地区还是不能实施。 （３）数学家培养数学人才 著名数学家陈省身教授为中国数学事业做出了很多贡献。在陈省身晚年的决心把自 己的生命奉献给中国的数学事业，他的一个想法就是“必须从根本上增强中国数学的实 力，在本土上发展中国自己的数学”。他把在美国工作的事务处理完毕之后，在中国开 始了他的一生最后的事业一依照中国的国情仿照普林斯顿高等研究生的运行模式创办 了南开大学数学研究所，是我国改革开放以来在科学教育方面的创举，为中国的数学应 率先赶上世晃先进水平打下基础。南开大学数学研究所一改过去单纯派遣留学生导师国 数学家成长经历与数学人才培养 外以培养高科技人才的方式，变为扎根在中国，在中国本土培养出高级人才的新型基地。 可以说，陈省身为中国培养本土数学人才做出了很好的榜样嫡１。 陈省身的学生、数学家丘成桐也延续老师的事业。在他的事业如日中天的时候，把他的 时间和精力花在影响自己研究的行政和社交上。为实现他的梦想——让中国成为数学强国。 为了中国的数学事业，四处奔波筹集经费，先后创办了三个数学研究基地并推动了国际华人 数学家大会的召开嘲。丘成桐教授为培养中国的数学人才设立了丘成桐数学奖，这个奖项是面 对全球华人学生的一个奖项嘲。 可以说，中国的数学家为中国的数学事业和培养本土数学人才都做出了不懈的努力。 （４）从数学课标角度 从课标的理念 新课程标准第八条理念表示数学体现数学文化的价值。数学课程应适当反应数学的 历史、应用和发展趋势，数学对推动社会发展的作用，数学的社会需求，社会发展对数 学发展的推动作用，数学科学的思想体系，数学的美学价值，数学家的创新精神。数学 课程应帮助学生了解数学在人类文明发展的作用，逐步形成正确的数学观。为此，高中 数学课程题提倡体现数学的文化价值，并在适当的内容中提出对“数学文化”的学习要 求，设立“数学史选讲”等专题。 数学课程设置 选修３一ｌ：数学史选讲放在系列３当中。而系列３和４是为数学有兴趣和希望进一 步提高数学素养的学生而设置，所涉及内容反映了某些重要的数学思想，有助于学生进 一步打好数学基础，提高应用意识，有利于学生终身的发展，有利于扩展学生的数学视 野，有利于提高学生对数学的科学价值、应用价值、文化价值的认识。 课标在理念和设置方面都是很不错，但是在中国的考试制度下，这些数学理念和课 程设置都为高考而服务，不能实现人人学有价值的数学，人人都获得必需的数学，达到 不同的人在数学上得到不同的发展。 国外研究现状 （１）从数学发展的角度 数学家成长经历与数学人才培养美国著名数学家和数学史家Ｍ 克莱因撰写的著作《古今数学思想》比较细致的叙述 了几十位数学大家的（牛顿、欧拉、拉格朗日等）数学创造过程，对一些著名数学家的 评论，都有很独到的见解口１，对数学教师了解数学的思想来龙去脉非常有益。 其中很遗憾的是这部巨作中忽视了对中国、日本的数学的阐述。有很多事实表明中 国、日本的数学对欧洲科学的发展起到过很大作用，这是不容否认的。 以数学家亚历山大洛夫（Ａ．Ｄ．Ａｌｅｋｓａｎｄｒｏｖ）为首的一批苏联数学家与１９５６年写的《数 学一它的内容、方法和意义》该书一方面从总体上概括了数学的历史演变；另一方面又 着重就现代数学每一个分支的历史、内容、方法和意义进行了阐述，比较注重数学思想 方法的分析和评价盯３。 （２）从数学教育角度 日本的数学家、数学教育家米山国藏１９６９年发表的《数学的精神、思想和方法》。 该书以数学中富有启发性的案例为依据，系统论述了贯穿于整个数学中的主要精神、重 要思想和若干有效的数学方法，着眼点放在数学能力和创造精神的培养上。其特点是以 努力学习及个人奋斗的期间，可以给他树 人。在这个时期，阅 读数学家的传记，了解他们的个人成长经历会被他们的精神所折服。我们作为读者也有 这样的经历，当你读文学家的作品之后，也要为之成为文学家而奋斗。当你看到书法家 的精湛之作时候，你不仅为之惊叹，而且因为看法的改变而练习书法。所以体验到数学 家的成长经历你也会效仿要为之。并且一旦形成它的爱好或是产生浓厚的兴趣，终身都 会学习和研究。 （２）激励人们，给予人们以力 人们说信仰往往会带给人们力 无以言说的力量。在他们的经历的 着的信念，一直致力于研究和突破 想，而且心里存着这样的一个信念 （３）传播数学文化的功能 从数学家个人的成长经历中。 事风格以及它的学术成就。这样我 普通的人成长为一名著名的数学家 文字体会到的。只有通过实际的探 历所遇到的有关数学的知识和成果 学修养来发奋学习和研究数学。 数学家成长经历与数学人才培养 ２．３数学家成长经历的分类 ‘数学的发展过程当中出现了许多的杰出的数学家，人们根据研究需要和标准可以从 不同的角度对其进行分类。根据教学的需要，以数学家成才类型为标准将其分为以下三 ２．３．１数学天才在数学教育当中，由于学生个体的差异性，对数学学习的兴趣也有所不同。在数学 历史的发展中就有数学家生来就对数学感兴趣。我们称之为数学天才。天才的标准是无 师自通。 众所周知，欧拉在数学史上的地位是无与伦比的。欧拉的一生，是为数学发展而奋 斗的一生，他那杰出的智慧，巨大的贡献，顽强的毅力，孜孜不倦的奋斗精神和高尚的 科学道德，永远值得后人学习。殊不知，欧拉还是一个少年天才。欧拉１７０７年４月１５ 日出生于瑞士的巴塞尔城，１７８３年９月１８日卒于圣彼得堡。父亲保罗 欧拉是为牧师， 也是一位数学爱好者。他是欧拉的第一位老师，所以欧拉从小就受到这方面的熏陶。１７２０ 年，欧拉不到１４岁就进了巴塞尔大学学习。先学神学和哲学，但他被当时著名的数学 家约翰．ｆ白努利（Ｊｏｈａｎｎ Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ，１６６７＿１７８４）所讲授的数学所吸引，他感兴趣的课程是数 学。同时，他也结识了约翰 伯努利的两个儿子尼古拉 伯努利（Ｎｉｃｏｌａｕｓ Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ， １６９５－－１７２６）和丹尼尔．ｆ自努利（Ｄａｎｉｅｌ Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ，１７００－－－１７８２）。这兄弟二人都是数学家。 １８岁那年，欧拉就发表了第一篇数学论文。欧拉１９岁大学毕业没有找到工作，丹尼尔．ｆ白 努利弟兄深知欧拉的才能竭力推荐他到俄国科学院数学部工作，但是目的没有实现。因 为欧拉在１７２６年已被医学部所聘用。欧拉在经过一段艰难的旅行之后来到俄国圣彼得 堡。在这期间，欧拉发表了大量的优秀的数学论文以及其他方面的论文、著作。 １７４０年由于俄国政治的原因，俄国的首都非常混乱。欧拉回到了柏林，受聘于柏林 科学院。但在柏林科学院他的一些治学方略得不到实施。在１７６６年又重新回到了俄国 圣彼得堡，在那里继续生活和工作。但在１７７１年由于一场大火，使欧拉的大量研究成 果化为灰烬。但是这时的欧拉也没有被眼疾和大火的打击击倒。在他完全失明之后，仍 然以惊人的毅力与黑暗搏斗，凭着记忆与心算进行研究。 数学家成长经历与数学人才培养欧拉是１８世纪数学界的中心人物，在数学方面的贡献几乎是无与伦比的。他在数 学的十几个方面都做了深入的研究，例如数论、代数、无穷级数、单复变函数等等。欧 拉的才能不仅体现在数学方面，还涉及力学、天文学、航海学等众多领域的研究。 欧拉是一位天才的数学家，总结他的成为数学家的经验，除了他有伯乐的相识之外， 就是他自身的天赋极高、记忆力惊人等重要因素Ｈ１。 微积分的创建人之一，罕见的科学天才莱布尼茨（Ｇｏｔｔｆｒｉｅｎｄ Ｗｉｌｈｅｌｍｖｏｎ Ｌｅｉｂｎｉｚ，１６４仁１７１６）德国自然科学家、数学家、物理学家、历史学家和哲学家。他博览 群书，涉猎百科，对丰富人类的科学知识宝库做了不可磨灭的贡献，１６６１年１５岁的莱 布尼茨进入莱比锡大学学习法律，一进校便跟上了大学二年级标准的人文科学的课程， 他还抓紧时间学习哲学和科学。１６６３年５月，他以《论个体原则方面的形而上学争论》 一文获得学士学位。这期间莱布尼茨还广泛阅读了培根、开普勒、伽利略等人的著作， 并对他们的著述进行深入的思考和评价。在听了教授讲授的欧几里得的《几何原本》的 课程后，莱布尼茨对数学产生了浓厚的兴趣。 作为一名数学家，莱布尼茨对欧洲大陆的数学的发展有直接的重要的影响，突出的 表现在欧洲大陆数学家宁愿采用他的ｄ符号（微分符号）而成为“ｄ主义者”，并与英 国数学家的“点主义’’展开了长达一个多世纪的抗争，使英国数学由于长期拒绝运用先 进的符号和思想而落后于欧洲大陆的数学。 数学界的莫扎特一陶哲轩，１３岁就获得数学奥林匹克竞赛金奖，３１岁获得数学界 的“诺贝尔奖”的菲尔兹奖。陶哲轩于１９７５年７月１７日出生在澳大利亚的阿德莱德，爸 爸陶象国和妈妈良蕙兰相识在香港大学。爸爸是儿科医生，妈妈是香港大学的高材生， 曾在中学当过数学教师，下面有两个弟弟。对于弟弟来说他不仅是哥哥，还是象棋和音 乐老师。分析数学天才陶哲轩走上的学习数学之路，没有把数学当成学业负担，而是学 着玩的想法，直到玩到菲尔兹奖。这个过程值得我们深思。他成才因素涉及到方方面面， 出了自身的天分和勤奋之外，兴趣爱好的培养和发展，还有和其他数学家的通力合作和 优势互补等‘８１。 这些天 Ｃｈａｒｌｓ，１８２２－－１９０１）他的数学考试成绩总是不及格但是却有丰富的数学知识。当埃尔米 特由于考试总是通不过而几乎放弃学业时，他所在的技术学院的一位数学老师理查德并 没有对他另眼相看，相反，却鼓励埃尔米特说：“你是拉格朗日以来的第二位数学天才。” 拉格朗日被称为数学界的贝多芬。后来埃尔米特由于腿疾的原因有工科专业转到文科系 学习，文科系的数学要简单的多，结果埃尔米特的数学还是不及格。但是他同时在法国 研究期刊《纯数学与应用数学杂志》发表了《五次方方程解的思索》一文，震惊了数学 界。埃尔米特是一位热心的数学传播者，他经常毫无保留的向数学界提供他的知识、想 法以至于创造性的思维火花，一般通过书信、便条以及演讲的形式进行这种传播工作“１。 使埃尔米特成功重要原因第一是妻子的理解，妻子始终默默支持数学考试总是不及 格的丈夫；第二就是同行的认同， 《纯数学与应用数学杂志》的主编刘维尔都是行家， 这些行家的认同是艾尔米特成功的重要因素。 英国著名数学家哈代（Ｇｏｄｆｒｅｙ Ｈａｒｏｌｄ Ｈａｒｄｙ，１８７７Ｌ１９４７）也自称是大器晚成的数 学家。哈代作为一名知名的数学家，哈代的人品和他的学问同样受到赞誉。他健谈，谈 话可以吸引周围很多人；他严于人律己，参加应该出席的各种会议，履行自己的职责； 富与正义感，痛恨战争，一生中不喜欢任何虚伪的东西。 哈代为人谦和，经常强调其他合作者的重要性而对自己轻描淡写，他曾经说过正是 得益于与李特尔伍德和拉马努金的平等合作才达到他的大器晚成Ｈ１。 哈代曾说他之所以选择数学作为自己的事业主要是因为数学是他能做得最好的一 件事，而不是别的冠冕堂皇的理由。他的数学成就基于他对数学的无线热爱和全身心的 县，家境比较贫穷，初中毕业之后由于家境的原因上不起高中经过努力考取了上海中华 职业学校商科（两年制），还是因为家境的原因还差一个学期未毕业，弃学回家帮父亲 打理生意。这是也没有放弃数学的学习，一直在自学数学。由于太贪迷数学，对生意总 是出错，父亲很反感，多次要毁掉他的“天书”。很快华罗庚的数学才能显示出来，１９２９ 年，他的第一篇论文发表在上海的《科学》杂志上。１９３０年，他的第二篇文章“苏家驹 之代数的五次方程式解法不能成立的理由’’发表在《科学》杂志上，引起了当时清华大 学的数学系主任熊庆来的注意，邀请他到清华大学工作，从此开始了数学的研究道路。 维纳和阿达马在清华大学的讲学又使华罗庚的数学生涯发生了重大的改变。华罗庚的数 学天才被两位大师赏识。在熊庆来教授建议下，华罗庚到剑桥留学。在剑桥期间，华罗 庚不仅取得了世界一流的数学成果，还逐步形成了自己的数学观。１９３８年回国，回国后， 继续在数论方面作了学院重要的工作。同时，华罗庚对我国的教育事业做出了很大的贡 献，为我国培养了很多数学人才，可以说他是本世纪最富有传奇性的数学家之一‘２１。 ２０世纪初，一颗天才的数学亮星在印度升起。他的传奇经历至今仍为人们惊异不已： 没有正规学历，贫病交迫，不安常规做数学却发表了大量的数学成果：这就是印度自学成 才的数学家Ｓ．Ａ．拉马努金（Ｓｒｉｎｉｖａｓａ Ａａｉｙａｎｇａｒ Ｒａｍａｎｕｊａｎ １８８７－－１９２０）。拉马努金的一 生贫病交加的一生，但是也不影响他创造出大量的数学成果，因为条件的限制，他在研 究数学的时候用胳膊肘擦拭石板，他的肘上的皮肤又黑又厚。用他的精彩一生谱写了研 究数学之路‘２１。 华罗庚与拉马努金他们既有惊人的相似之处，同时又有明显的差异。两人主要是自 学成才的都得益于哈代的指导下，在英国从事过一段数学的研究工作，对于沟通东西方 数学家成长经历与数学人才培养 的差异，并使其祖国步入数学研究的天地，各自都起了相当大的作用。但是我们也看出 他们的不同，拉马努金的自下而上能力以及适应各种不同的生活条件的能力显然不足， 华罗庚在某种意义下是一个自下而上者，他明显的能够适应各种不同的学术、政治与饮 食条件“１。 自学成才的数学家还有很多，他们的经历给后人有很大的激励。分析自学成才或者 早熟的数学家对学生数学才能的早期开发的显得尤为重要。 综上可知，数学家成长的过程的复杂性，在一定程度上，取决于自然地域、经济状 况、历史文化等特征。认为数学家成才的客观因素有很多，既有深厚的文化传统、良好 的家庭教育和学校教育的影响，又有周围有知识和有眼光的人的影响，教师无疑是影响 数学家成才的关键性人物悖１。我们研究数学天才、大器晚成和自学成才的数学家，他们 的思维方式和他们的成才经历对教学过程中开发数学成绩不好的学生的数学智力会大 有益处。 ３数学家成长经历的主要因素分析 造就一件作品或者成就一番事业都有很多因素成为其成功的原因。那么，成为数学 家也有很多因素，分析数学家成才的原因有自身的原因还有外部环境的原因，其复杂程 度不仅取决于自然环境、经济基础、文化底蕴等还有学校家庭的教育等诸多因素，还有 自身对数学的浓厚兴趣、执着追求、进取心和对数学的敏锐的直觉等都是成才的关键。 在这里从两大方面来进行探讨：一个是客观因素，一个是主观因素． ３．１客观因素 客观因素主要指外在的因素，这里从数学家成长的经历分析出以下几个方面： （１）父母对子女的教育与影响 很多数学家都是受父母的影响下成为数学家。有很多父子、兄弟或整个家族都是研 究数学的而且都是数学家，像伯努利家族、梅氏家族、周达父子、祖冲之父子和姜立夫 父子等很多。父母的观念、思想会给孩子很大的影响。尼古拉 伯努利和丹尼尔 利就是在父亲约翰伯努利的影响下学习数学的，家庭的氛围充满了数学气息，深深地 吸引他们踏上数学之路，后来他们都成为著名的数学家。梅氏家族四代相承，拼搏努力， 数学家成长经历与数学人才培养 前赴后继，为数学的发展做出了不朽的贡献，是数学家族之典范ｎ ０ｌ。埃米诺特的父亲就 是大学生数学教授，在其父的影响下，家里的孩子后来都成为科学家。足见父母对子女 的教育和影响都是非常重要的。借鉴数学家的成长经历，对现代的父母培养孩子成才是 非常有效的途径瞳，。 （２）良师益友的影响 韩愈曾说：“世有伯乐，然后有千里马。千里马常有，而伯乐不常有。”说明人才 很多，但是得有赏识他的人。 首先是启蒙老师的作用。其次是受大学教师的教学科研水平的及科学精神的影响。 可以说，跟随大师成就新大师之伟业。很多的数学家都是大师的带领下确定了研究方向。 著名华裔数学家陈省身是当代最有国际声望的数学家，是２０世纪世界上最伟大的几何 学家之一，是惟一的一位被布尔巴基学派在《纯粹数学概观》中列为纯粹数学重大理论 开创者的中国数学家。陈省身幼年时父亲陈宝祯从外地带回一本《笔算数学》。经过父 亲的指教，他对数学产生了兴趣。１９２７年考入南开师从姜立夫，开始了辉煌的数学生涯。 １９３０年毕业之后考入清华大学数学硕士研究生，１９３ １年在孙光远的指导下研究射影微 分几何。１９３２年德国数学家布拉施克访华讲学，对陈省身触动很大。１９３４年他留学汉 堡大学追随布拉施克学习整体微分几何。由于对几何的热爱和对Ｅ 嘉当的敬仰，带着导 师布拉施克的推荐信，陈省身于１９３６年９月来到巴黎追随Ｅ 嘉当，由此开始与Ｅ 的一段师生缘。陈省身在Ｅ嘉当的指导下对微分几何有了更深刻的理解。，他不仅熟悉 嘉当的语言和思想方法，而且可以说是掌握了当时“最好’’的几何。就这样，他成了Ｅ－嘉当的关荣的继承人。他找到了最好的老师，选择了最有前途的研究方向，经过几 年的酝酿，后来在美国的普林斯顿开创了微分几何的新时代璐３。 有很多的数学家遇到了名师，但是也有很多数学家在朋友的帮助之下走向数学之路 的。中国的现代数学家吴文俊早年在求学的时候就得到同学赵孟阳的帮助。赵孟阳深知 吴文俊具有数学才能，还经常送书给他。并且在下面的三件事给他极大的帮助。第一件 事，１９４５年赵孟阳把自己在交大助教的机会让给了吴文俊，使他有机会继续研究数学。 第二件事，１９４５年年底，教育部在报上刊登举办留学生招考的消息，吴文俊没有注意这 则消息，赵孟阳看到之后通知给吴文俊并劝他报考应参加考试。第三件事就是他的人生 数学家成长经历与数学人才培养 转折的～件事，赵孟阳后来成为朱公谨的助手，他把吴文俊介绍给朱公瑾、周炜良著名 数学家，而且引荐给陈省身先生。这次让他的一生发生了改变ｎ１１。对于吴文俊来说赵孟 阳就是他的益友。 （３）家庭经济条件 从数学家的典型案例来看，不能说家庭经济条件起绝对的作用，但是在外在环境上， 家庭经济条件好的对子女成为优秀之才起到不可限量的作用。很多外国的数学家在家庭 经济条件上支持他们使之能够安心的做数学研究。像“女扮男装”女数学家索菲 曼就是这样的一个例子。索菲热尔曼（Ｓｏｐｈｉｅ Ｇｅｒｍａｎ １７７仁１８３１）出生在巴黎的富裕 的丝绸商家里，１３岁时被《数学的历史》所吸引，爱好上数学。父母知道后不同意她学 数学，但是她用自己的行动感动了父母。后来在父母的资助下进行着研究和学习〔１２〕ｏ家 庭经济条件在这里为成才多了一份保障。 （４）学术氛围 周围环境对一个人的成长是及其重要的，特别是科学文化和传统文化的特殊氛围， 其中很多数学家文理通融。有的还会音乐、美术，艺术细胞也很发达。当年的格丁根大 学的学术氛围就渲染了很多人。１８９８年高木真治离开日本师从德国柏林的弗罗贝尼乌 斯，当时柏林正是魏尔斯特拉斯、克罗内克、库默尔鼎盛之后由富克斯、施瓦兹和弗罗 贝尼乌斯接班，当时，高木真治所学的数学内容与在日本差不多，但是与名师的相处， 气氛确实不同ｎ羽。１９００年，高木真治来到格丁根见到了克莱因和阿贝尔，他对格丁根的 学术环境非常满意，感觉日本的数学水平远远不如德国，相差半个世纪。然而在这里学 习了一年半，他就完全能融入到这种氛围当中，所以说，学术气氛对学者来说有多重要 ｏ（５）交流合作交流对数学的发展非常巨大。作为现代西方文明源泉的古希腊是吸引力报考古埃及 文明和古巴比伦文明等各种文明精华的产物，其形成的一个重要条件就是“古代世界的 各条知识之流都在古希腊汇合起来”。不仅是国与国是这样，人与人也是一样的。数学 家进行交流的形式就书信、留学访问等。这些都不仅促进了数学思想的交流，而且促进 了数学的发展。从历史来看，中国早期的数学人才是都是到过国外留学归来的数学家， 数学家成长经历与数学人才培养 不仅把国外比较最新的数学成果带到国内，而且还为中国培养数学人才奠定了基础。合 作交流是促进数学发展的催化剂。英国数学家哈代和李特尔伍德１９１２年开始合作，一 直持续了３５年直到１９４７年哈代去世。他们先后联合发表了一百篇数学论文。数论专家 兰道说过，哈代和李特尔伍德是世界上最好的数学家，那是因为李特尔伍德是富有创建 的天才，而哈代是优秀的撰稿人ｎ引。他们的合作为英国的数学做了很大的贡献。 ３．２主观因素 （１）对数学浓厚的兴趣和好奇心 心理学家所揭示的“爱克森一多德斯定理’’说明，在最佳期间，人的情趣意向和旨 趣动机越强烈，则人们所获得的知识成绩越显著。学习兴趣是对学习活动一种积极的认 识倾向和情绪状态，也是学生获得经验和发展潜力的重要动力ｎ钉。古语说：知之者不如 好知者，好之者不如乐知者。在教学当中，抓住学生的学习数学的兴趣就等于抓住了学 生的胃口。 ，（２）要有坚强的毅力、甘于寂寞的恒心和执着的信念。 古语说：“只要功夫深，铁杵磨成针”，“不经一番寒彻骨，哪的梅花扑鼻香’’．。 很多的大家在没有出名的都是默默地工作。做学问就是这样，没有坚强的毅力，就不能 超越一切。数学家的工作性质就要求必须具备这些卓越的品质。 （３）超强的学习能力 所有的数学家的都具备的一个能力，这就说明我们不仅要学习还要学会学习。由于 数学具有极抽象的科学，学习数学不是简单的任务，为了探索数学的思想和方法，超强 的学习数学能力是必备的。 所以，教师紧密联系教材实际介绍一些大数学家的勤奋努力、不畏艰巨的工作精神， 一丝不苟的严肃认真的科学态度。这样有助于基础教育阶段中学生科学世界观的初步形 成和优良的非智力品质的培养。 ４数学家思维方式的形成 数学是自然科学、技术科学与人文社会科学的基础，这一点已越来越成为当今社会 的共识。数学的这种基础地位，首先是由于它作为科学的语言和工具而在人类几乎一切 数学家成长经历与数学人才培养 知识领域获得日益广泛的应用，但更重要的恐怕还在于数学对于人类社会的文化功能， 即培养发展人的思维能力，特别是精密思维能力。一个人不管将来从事什么职业，思维 能力都可以说是无形的资本，而数学恰恰是锻炼这种思维能力的体操。这正是为什么数 学是每个受教育的人一生中需要学习时间最长的学科之一。这并不是说我们在学校中学 习的每一个具体的数学知识点都会在日后的生活与工作中派上用处，数学影响一个人终 身发展的主要在于思维方式。 下面从心里学角度阐述与思维方式有关的内容。 ４．１思维 在我们的日常生活中，时时刻刻都离不开思维。用它来学习知识、解决问题；用它 辨别真伪，识别美丑；用它探索新知，创造未来。在数学中，就更离不开思维了。如果 没有数学思维，在数学的王国中，就更寸步难行了。 ４．２数学与思维 “思维是数学的体操”，思维可以说是数学家开启未知领域的一把钥匙。利用这把 钥匙来打开未知领域的门还得利用思维，作为数学家更离不开数学思维。 ４．２．１数学与直觉思维 “直觉”这个词的用法很多，有时指的是感性直观，即可见的，靠感官可直接把握 的东西；有时它指非逻辑的，力图直觉领悟事物本质的思考。直觉指的是对事物本质的 直接领悟或洞察。 直觉思维是人脑对数学对象及其结构、规律在整体上的直接领悟和观察把握，即在 观察想象的基础上调动个体原有的经验，根据一定的意向，通过丰富的想象做出的敏锐 而迅速的假设、猜想或判断，并跳过若干中间步骤或放过个别细节而直接把握研究对象 的本质和联系。它不受固定的逻辑约束，并以潜逻辑的形式进行，以高度省略、简化和 浓缩的方式洞察数学关系，能在一瞬间迅速解决有关数学问题ｎ盯。 数学家Ｈ 汉克尔（Ｈ Ｈｅｎｋｅｌ）说：“可以说存在一种科学的敏锐，它指导数学家从 事研究，保护他们不致在无科学价值的问题进而艰难晦涩的领地上耗费精力。这种机敏 根美学的机敏有密接相关。它是我们这门科学中唯一无法言传身教的东西，但又是每个 数学家成长经历与数学人才培养 数学家必不可少的才能。”直觉思维把思维的过程和结论融为一体，而且是几乎同时给 出，它是逻辑思维的一种浓缩和升华，它具有敏锐性、明确性和简洁性，它是集约式的 思维（ｉｎｔｅｎｓｉｖｅ ｔｈｉｎｋｉｎｇ）方式；它是人们对于数学研究对象的某种迅速而直接的洞察或 领悟，它需要厚实的数学功底，也依赖个人的气质与哲学进而人文方面的修养‘１。 印度天才数学家拉马努金就是凭借非凡的直觉能力猜出了很多的数论定理。他随时 在笔记本上写下凭直觉获得的数学公式，一般都不给出严格的证明。哈代曾说过，对于 欧洲来说，拉马努金的思想方法代表不同的流派，他的那种原发的巧妙想法源源不断的 流出“１。实际上，依赖直觉是大多数的数学家都有的才能，但是拉马努金在这方面的才 能表现的比较突出。 ４．２．２数学与逻辑思维 逻辑思维是一种有条件、有步骤、有根据、渐进式的思维方式．是借助于概念、 判断、推理等思维形式所进行的思考活动，是一种很严谨的思维方式。数学的特点之一 就是逻辑性非常的强，而且这种逻辑思维是长期的训练才会出现的。 逻辑主义的代表人物罗素曾说：“逻辑即数学的青年时代，数学即逻辑的壮年时 代，青年与壮年没有截然的分界线，故数学与逻辑亦然。”逻辑在数学中的应用不断提 高数学的理论性、严格性和可判断性，同时又不断从数学的非逻辑特征中寻找自己的发 展方向。逻辑思维是数学证明的工具，是检验数学真理的间接标准。在现代数学中，由 于高度的抽象化、形式化和公理化，逻辑相容性时常成为检验数学真理的唯一标准。逻 辑是数学知识理论化系统化的手段，起到“浓缩’’数学知识的作用。逻辑思维对数学发 现提供必要的启示和引导，在一定意义上成为数学发展的动力ｎ盯。 ４．２．３数学与抽象思维 数学是抽象性极强的－ｆ－ｊ科学，数学的对象都是抽象的产物。所谓抽象思维，一般 指抽取同类事物的共同的、本质的属性或特征，舍弃其他本质的属性或特征的思维过程。 数学史上很有名的例子：１８世纪东普鲁士的哥尼斯堡有一条布勒尔河，这条河有两 条支流，在城中心汇合成大河，中间是岛区。河上有七座桥。哥尼斯堡的大学生傍晚散 步时，总想一次走过七座桥，而每座桥只走一遍，可是试来试去总办不到，于是便写信
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